将军饮马模型“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现． 模型1：直线与两定点模型作法结论lB A当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最小．lPAB连接AB 交直线l 于点P ，点P即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为ABl AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得P A ＋PB 最小．lPB'AB作点B 关于直线l 的对称点B '， 连接AB '交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．P A ＋PB 的最小值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．lPAB连接AB 并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为ABlAB当两定点A 、B 在直线l 异侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最大．l B'AB P作点B 关于直线I 的对称点B '，连接AB '并延长交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最大值为AB 'l AB当两定点A 、B 在直线l 同侧时，在直线l 上找一点P ，使得PA PB -最小．l PAB连接AB ，作AB 的垂直平分线交直线l 于点P ，点P 即为所求作的点．PA PB -的最小值为0模型实例例1：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，则PD ＋PE 最小值是 ．EBC ADP解答：如图所示，∵点B 与点D 关于AC 对称，∴当点P 为BE 与AC 的交点时，PD ＋PE 最小，且线段BE 的长． ∵正方形ABCD 的面积为12，∴其边长为23∵△ABE 为等边三角形，∴BE ＝AB ＝23PD ＋PE 的最小值为3例2：如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，∠BCD ＝15°，P 为CD 上的动点，则PA PB -的最大值是多少？DPPA'B解答：如图所示，作点A 关于CD 的对称点A ′，连接A ′C ，连接A ′B 并延长交CD 于点P ，则点P 就是PA PB -的值最大时的点，PA PB -＝A ′B ．∵△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC 等于4，∴∠ACB ＝90°． ∵∠BCD ＝15°，∴∠ACD ＝75°．∵点A 、A ′关于CD 对称，∴AA ′⊥CD ，AC ＝CA ′， ∵∠ACD ＝∠DCA ′＝75°，∴∠BCA ′＝60°．∵CA ′＝AC ＝BC ＝4，∴△A ′BC 是等边三角形，∴A ′B ＝BC ＝4．∴PA PB -的最大值为4． 练习1．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC ＋ED 的最小值是 ．DACB E解：解：过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C '，使O C '=OC ，连接D C '，交AB 于E ，连接C 'B ，此时DE+CE=DE+E C '=D C '的值最小．连接B C '，由对称性可知∠C 'BE=∠CBE=45°，∴∠CB C '=90°，∴B C '⊥BC ， ∠BC C '=∠B C 'C=45°，∴BC=B C '=2，∵D 是BC 边的中点，∴BD=1， 根据勾股定理可得：D C '=5，故EC+ED 的最小值是5． 2．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值．xyB (2,0)A (0,3)O解：解：（1）作A 关于x=3的对称点A′，连接A′B 交直线x=3与点C ． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴AC=A′C ．∴AC+BC=A′C+BC ．当点B 、C 、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值． ∵点A 与点A′关于x=3对称，∴点A′的坐标为（6，3）．设直线BA′的解析式y=kx+b，将点B和点A′的坐标代入得：k＝34，b＝−32．∴y=34x-32．将x=3代入函数的解析式，∴y的值为3 43．如图，正方形ABCD中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是AC上的一动点，求|DN－MN|的最小值与最大值．C解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3于D ，点C 、点D 即为所求．PB OAQ点P 、Q 在∠AOB 内部，在OB 边上找点D ，OA 边上找点C ，使得四边形PQDC 周长最小．分别作点P 、Q 关于OA 、OB 的对称点P ′、Q ′，连接P ′Q ′，分别交OA 、OB 于点C 、D ，点C 、D 即为所求．PC ＋CD ＋DQ 的最小值为P ′Q ′，所以四边形PQDC 周长的最小值为PQ ＋P ′Q ′模型实例如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且10OP =.在OA 上有一点Q ，OB 上 一点R ．若立△PQR 周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P 分别关于OA 、OB 的对称点E 、F ，连接EF ，分别交OA 、OB 于点Q 、R ，连接OE 、OF 、PE 、PF .EQ OP =，FR RP =．△PQR 的周长的最小值为EF 的长.由对称性可得∠EOQ=∠POQ ，∠FOR=∠POR ， ∠EOF=2∠AOB=60°． △EOF 是正三角形．10EF OE OP ===．即△PQR 周长最小值为10.模型2/角与定点1．已知，40MON °?，P 为MON Ð内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，当△PAB 的周长取最小值时：OBAP(1)找到A 、B 点，保留作图痕迹；(2)求此时APB Ð等于多少度.如果∠MON =θ，∠APB 又等于多少度？ON1.解答（1）做点P 分别关于OM ON 、的对称点E F 、，连接EF 分别交OM ON 、于点A B 、．点A B 、即为所求，此时△PAB 的周长最小．（２）∵点E 与点P 关于直线OM 对称，点F 与点P 关于ON 对称， ∴∠E ＝∠APE ，∠F =∠BPF ，∠CPD =180°-∠MON =140°． ∴在△EFP 中，∠E +∠F =180°-140°=40°， ∴∠CPA +∠BPD =40°．∴∠APB =100°．如果∠MON =θ， ∴∠CPD =180°-θ，∠E +∠F =θ． 又∵∠PAB =2∠E ，∠PBA =2∠F ∴∠PAB +∠PBA =2（∠E +∠F ）=2θ ∴∠APB =180°-2θ．ONE2．如图，四边形中ABCD ，110BAD °?,90B D °??，在BC 、CD 上分别找 一点M 、N ，使△AMN 周长最小，并求此时+AMN ANM ∠∠的度数．A DBMN2．解答如图，作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A A'''与BC、CD的交点即为所求的点M、N．此时△AMN周长最小．∵∠BAD=110°，∴∠A'+∠A''=180°-110°=70°．由轴对称的性质得：∠A'=∠A AM'，∠A''=∠A AN''，∴∠AMN+∠ANM=2(∠A'+∠A'')=2×70°=140°．3．如图，在x轴上找一点C，在y轴上找一点D，使AD CD BC++最小，并求直线CD的解析式及点C、D的坐标．yxOB(3,1)A(1,3)3．解答作点A关于y轴的对称点A'，点B关于x轴的对称点B'，连接A B''分别交x轴、y轴于点C、D，此时AD CD BC++最小．由对称性可知A'（-1,3），B'（3，-1）．易求得直线A B''的解析式为2y x=-+，即直线CD的解析式2y x=-+．当0y=时，2x=，∴点C坐标为（2,0）．当0x=时，2y=，∴点D坐标为（0,2）．xy (1，3)(3，1)OB 'BA 'AD C4．如图，20MON°?，A 、B 占分别为射线OM 、ON 上两定点，且2OA =，4OB =，点P 、Q 分别为射线OM 、ON 上两动点，当P 、Q 运动时，线段AQ PQ PB ++ 的最小值是多少？ONMAB4．解答作A 点关于ON 的对称点A '，点B 关于OM 的对称点B '，连接A B ''，分别交OM ON 、于点P Q 、，连接OA '、OB '．则AQ PQ PB A Q PQ PB A B ''''++=++=，此时AQ PQ PB ++最小． 由对称可知，PB PB '=，AQ A Q '=，2OA OA '==，4OB OB '==，20MOB NOA MON ''∠=∠=∠=︒． 60A OB ''∠=︒．作A D '⊥OB '于点D ， 在Rt △ODA '中，∴1OD =，3A D '= ∴413B D '=-=，23A B ''= ∴AQ PQ PB ++的最小值是23．模型作法结论如图，在直线l上找M、N两点(M在左)，使得AM＋MN＋NB最小，且MN＝d.将A向右平移d个单位到A′，作A′关于l的对称点A"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为M，点M，N即为所求.AM＋MN＋NB的最小值为A"B＋d如图，l1∥l2，l1、l2间距离为d，在l1、l2分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB最小．将A向下平移d个单位到A，连接A′B交直线l2于点N，过点N作MN⊥l1，连接AM.点M、N即为所求．AM＋MN＋NB的最小值为A'B＋d.例题：在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为OC中点，点E、F在线段OA上，点E在点F左侧，EF＝2.当四边形BDEF的周长最小时，求点E的坐标．解答：如图，将点D向右平移2个单位得到D'(2，2)，作D'关于x轴的对称点D"(2，－2)，连接BD"交x轴于点F，将点F向左平移2个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，且四边形BDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BD＋DE＋EF＋BF，BD与EF是定值.∴BF＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵BF＋ED＝BF＋FD'＝BF＋FD"＝BD"ABl2l1A′NMABl2l1BAlM NA′A"BAld设直线BD "的解析式为y ＝kx ＋b ，把B (6，4)，D "(2，－2)代入，得6k ＋b ＝4，2k ＋b ＝－2，解得k ＝32，b ＝－5，∴直线BD "的解析式为y ＝32x －5．令y ＝0，得x ＝103，∴点F 坐标为(103，0)．∴点E 坐标为(43，0)．练习1．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A (3，0)，B (0，4)，D 为边OB 的中点． (1)若E 为边OA 上的一个动点，求△CDE 的周长最小值；(2)若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝1，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．解答：(1)如图，作点D 关于x 轴的对称点D '，连接CD '与x 轴交于点E ，连接DE ，由模型可知△CDE 的周长最小．∵在矩形OACB 中，OA ＝3，OB ＝4，D 为OB 的中点， ∴D (0，2)，C (3，4)，D '(0，－2).设直线CD '为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D '(0，－2)代入， 得3k ＋b ＝4，b ＝－2，解得k ＝2，b ＝－2， ∴直线CD '为y ＝2x －2. 令y ＝0，得x ＝1， ∴点E 的坐标为(1，0). ∴OE ＝1，AE ＝2.利用勾股定理得CD ＝13，DE ＝5，CE ＝25， ∴△CDE 周长的最小值为13＋35．(2)如图，将点D 向右平移1个单位得到D '(1，2)，作D '关于x 轴的对称点D ″(1，－2)，连接CD ″交x 轴于点F ，将点F 向左平移1个单位到点E ，此时点E 和点F 为所求作的点，且四边形CDEF 周长最小．理由：∵四边形CDEF 的周长为CD ＋DE ＋EF ＋CF ，CD 与EF 是定值，∴DE ＋CF 最小时，四边形BDEF 周长最小，∴DE ＋CF ＝D 'F ＋CF ＝FD ″＋CF ＝CD ″， 设直线CD ″的解析式为y ＝kx ＋b ，把C (3，4)，D (1，－2)代入，得3k ＋b ＝4，k ＋b ＝－2，解得k ＝3，b ＝－5．∴直线CD ″的解析式为y ＝3x －5， 令y ＝0，得x ＝53，∴点F 坐标为(53，0)，∴点E 坐标为(23，0)．112．村庄A 和村庄B 位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A 与B 之间的距离最短？解答：设l 1和l 2为河岸，作BD ⊥l 2，取BB '等于河宽，连接AB '交l 1于C 1，作C 1C 2⊥l 2于C 2， 则A →C 1→C 2→B 为最短路线，即A 与B 之间的距离最短.AB l 2l 1。