本节要点


四种常用的离散化方法 不同离散化方法的适用条件 问题


离散传递函数相同的两个系统动态特性是否 相同？ 如何绘制离散传递函数的频率特性曲线？ 差分法的物理意义
1
零阶保持法

对象(基于能控标准型实现）
(t ) Ax(t ) Buh (t ) x y (t ) Cx(t ) Duh (t )
uh (t ) u(k ), kT t (k 1)T

系统输出
x(t ) e
A( t t0 )
x(t0 ) e A(t ) Buh (τ)dτ
ze
jT
, ,

T
, z 1
零极点匹配法

对象
K s ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) W ( s) ( s1 p1 )(s p2 ) ( s pn )

变换结果
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT )(z 1) nm W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )
W (s) b0
' n 1 ' bq s bn
u（ k ）
W （z ）
s n a1 s n1 a n
双线性变换

系统状态方程
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t )
0 I n 1 A , B 0 an a1 ' ' C [ b b n 1 ] , D b0 0 0 1
s 0 W ( z ) z 1
零极点匹配法

特殊之处：无穷远零点
K s ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) W ( s) ( s1 p1 )(s p2 ) ( s pn )
s j,
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT )(z ) nm W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )

差分方程
x1 (k ) y (k ) x1 (k 1) x2 (k ) xn (k 1) an x1 (k ) an 1 x 2(k ) a1 x(k ) u (k )
可控标准型
x1 (k ) y (k ) x1 (k 1) x2 (k ) xn (k 1) an x1 (k ) an 1 x 2(k ) a1 x(k ) u (k )
2 z 1 I A T z 1 X ( z ) BU ( z )
2 z 1 X ( z) I A BU ( z) T z 1
Y ( z ) CX ( z ) DU ( z ) 2 z 1 C I A BU ( z ) DU ( z ) T z 1
1
1
双线性变换
Y ( z) W ( z) U ( z) 2 z 1 C I A B D T z 1 [C ( sI A) 1 B D ] W (s)
s 2 z 1 T z 1 1
s
2 z 1 T z 1
2 z 1 s T z 1
F e , G e At dtB
AT 0
T
x(k 1) Fx(k ) Gu(k )
零阶保持法

特点

对带有零阶保持器的情况，该法最精确 用于离散化被控对象（零阶保持器输出）
双线性变换和零阶保持法的比较

双线性变换
x[(k 1)T ] x(kT )

( k 1)T
x(k 1) Fx(k ) Gu(k ) 0 F 0 an I n 1 0 , G 0 a1 1
零极点匹配法

对象
K s ( s z1 )(s z2 ) ( s zm ) W ( s) ( s1 p1 )(s p2 ) ( s pn )
T [ Ax(k 1) Bu(k 1) Ax(k ) Bu(k )] 2
T T ( z 1) I 2 A( z 1) X ( z ) 2 B( z 1)U ( z )
双线性变换

系统状态的解
T T ( z 1 ) I A ( z 1 ) X ( z ) B( z 1)U ( z ) 2 2
u （k ） y（t ） y（k ） W （s ） y（k）
u（k）
W（s）
y（ 2 t）
W （z ）
冲击响应不变法

步骤


计算单位脉冲响应h(t)=L [W(s)] 离散序列h(kT) 用z变换求离散传递函数
-1
冲击响应不变法

利用状态方程的变换实例



准备工作 W(s) 能控标准型实现[A, B, C, D] 求单位脉冲响应h(t) 离散化h(t)h(kT) z变换W(z)
W (s) C(sI A)1 B D
双线性变换

系统状态的解
(t ) Ax(t ) Bu(t ) x y(t ) Cx(t ) Du(t )
x[(k 1)T ] x(kT )

( k 1)T
kT
[ Ax(t ) Bu(t )]dt
x(k 1) x(k )
冲击响应不变法

利用状态方程进行离散化的关键

eAT的计算 （zI- eAT)-1的计算
冲击响应不变法

提示

输入是离散量u(kT) 当信号后有零阶保持器时有需作处理： W(s) TW(s)
W （ h s）
u（ h t）
y（t） y（k） W（s） y（k）
u（k）
u（k）
W（z）
TW（s）
u （t ） y（t ） y（k ） W （s ） y（k）

变换
z e sT
u（ k ）
W （z ）
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT ) W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )

增益
W ( s)
y（ 2 t）
-（k） y
1 e Wh ( s ) s
sT
W（z）
零阶保持法

意义 方法及过程（基于传递函数）

对象
W * (s) Wh (s)W (s)
sT 1 e W * ( s) W ( s) s

z变换
W ( s) W ( z ) (1 z ) Z [ ] s

一拍时延
K z ( z e z1T )(z e z2T )( z e zmT )(z 1) nm1 W ( z) ( z e p1T )(z e p2T )( z e pnT )冲来自响应不变法准则
W(z) 的单位脉冲响应等 于W(s)单位脉冲响应在 离散点的数值
2.1 离散化

常见信号分类 常用的离散化方法

2.1.1 信号分类

传统模拟信号 连续信号 阶梯信号 采样信号


离散信号

数字信号
模拟信号

在规定的连续时间内，信号幅值可以取连 续范围内的任意值。
采样信号

仅在自变量的离散点上有定义的信号。

可以看作一系列 脉冲序列，由连 续信号经过采样 得到。
u（t）
W（s）
y（t）
u（k）
W（s）
y（ 2 t）
u （t ）
y（t ） y（k ） W （s ） y（k） W （z ） u （k ） W （s ）
y（t ） y（k ）
u（ k ）
W （z ）
y（k）
双线性变换

系统传递函数
u （t ） y（t ） y（k ） W （s ） y（k）
Y ( s) b0 s n b1 s n 1 bn W ( s) n U ( s) s a1 s n1 a n
t0
t
t 0 kT , t (k 1)T
x[(k 1)T ] e x(kT )
AT
( k 1)T
kT
e A[( k 1)T ] Buh (τ)dτ
零阶保持法

系统输出
x(k 1) e x(k ) e At dt Bu(k )
AT 0 T
t (k 1)T
T 1 s 2 z T 1 s 2
双线性变换

令
s u jv z x jy

于是
T 1 s 2 z T 1 s 2
2 z 1 s T z 1 2 (x2 y 2 ) 1 2y s u jv [ j ] 2 2 2 2 T ( x 1) y ( x 1) y
kT
[ Ax(t ) Bu(t )]dt
T x(k 1) x(k ) [ Ax(k 1) Bu(k 1) Ax(k ) Bu(k )] 2

零阶保持法
x(k 1) e x(k )
AT ( k 1)T kT
e A[( k 1)T ] Buh (τ)dτ
双线性变换