n
1
2,3,1 1 2,3,1 cos , cos , cos .
22 32 1
14
u
6x
6x
6
x P
z 6x2 8y2 P
z 6x2 8y2 (1,1,1)
14
又
u y
P
z
8y
6x2 8y2 z
P
8y
6x2 8y2 (1,1,1)
8 14
,
u
z P
6x2 8y2 z2
P
6x2 8y2 z2
(3)【答案】 x 3y z 2 0
【解析】所求平面 过直线 L1 ,因而过 L1 上的点 (1, 2, 3) ；
因为 过 L1 平行于 L2 ,于是 平行于 L1 和 L2 的方向向量,即 平行于向量 l1 (1, 0, 1)
和向量 l 2 (2,1,1) ,且两向量不共线,于是平面 的方程
.
故 a 1为函数 I 4 a3 4a, (a 0) 的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 3
y sin x,(x [0, ]) .
五、(本题满分 8 分.)
【解析】按傅式级数公式,先求 f (x) 的傅式系数 an 与 bn .因 f (x) 为偶函数,所以
bn
1 l
l l
f (x) sin n l
0
1
a3 sin3
x
2ax cos
x
a2 2
sin 2x dx
a3
sin3 xdx 2a
x cos xdx a2
sin 2xdx
0
0
20
a3
(cos2 x 1)d cos x 2a
xd sin x a2
sin 2xd 2x
0
0
40
a3
1 3
cos3
lim
x x0
f (x)
,则
x x0 是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当 lim f (x) a, (a为常数）,则 y a 为函数的水平渐近线. x
(2)【答案】(B)
【解析】令 u t ,则 t 2u, dt 2du ,所以 2
f (x)
2x 0
f
t 2
dt
ln 2
x 2 f (u)du ln 2 ,
(3)【答案】(C) 【解析】因为
(1)
a n1 n
a1
a2
a3
a4
a2n 1
a2n
n1
(a1 a2 ) (a3 a4 ) (a2 n1 a2 n)
(a2n1 a2n ) a2n1 a2n (收敛级数的结合律与线性性质),
n1
n1
n1
所以
a2n
a2n1
(
1)
c
b a
1 d
ad
bc
c
b
a
.
A
再利用分块矩阵求逆的法则：
0
0 1
B
A1 0
0
B
1
,易见
1 2 0 0
2
5
0
0
A1
0
0
1 3
2 3
.
0
0
1 3
1 3
二、选择题(本题共 5 个小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D)
【解析】由于函数的定义域为 x 0 ,所以函数的间断点为 x 0 ,
0
两边对 x 求导,得 f (x) 2 f (x) ,这是一个变量可分离的微分方程,即 d[ f (x)] 2dx .解 f (x)
之得 f (x) Ce2x ,其中 C 是常数.
又因为 f (0)
0
2
f
(u)du
ln
2
ln
2
,代入
f
(x)
Ce 2 x
,得
f
(0)
Ce0
ln
2
,得
0
C ln 2 ,即 f (x) e2x ln 2 .
其实,对于 ABC E 先右乘 C 1 再左乘 C ,有 ABC E AB C 1 CAB E .
三、(本题满分 15 分,每小题 5 分.)
(1)【解析】这是1 型未定式求极限.
1 (cos x 1)
lim (cos x) x lim (1 (cos x 1)) cos x1 x
cos x sin ydxdy 0, cos x sin ydxdy 2 cos x sin ydxdy ,
D3 D4
D1 D2
D1
所以
(xy cos x sin y)dxdy I1 I 2 2 cos x sin ydxdy ,
D
D1
故选(A).
(5)【答案】(D)
【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.
n1
1 (2n 1)2
cos(2n 1) x(1
x 1) .
令
x
0 ,有
f
(0)
20
5 2
4 2
n1
1 (2n 1)2
cos 0 ,所以,
n1
1 (2n 1)2
2 8
.
又
1
n2
n1
n1
1 (2n 1)2
1 (2n)2
n1
1 (2n 1)2
1 1 4 n1 n2
,
所以, 3 1 2 ,即 1 2 .
14
(1,1,1)
所以方向导数
u n
u x
cos
u y
cos
u z
cos
6 2 8 3 14 1 11 .
14 14 14 14
14 7
(3)【解析】由曲线
y2 2z,
x
0
绕
z
轴旋转一周而围成的旋转面方程是
x2
y2
2z
.
于是, 是由旋转抛物面 z 1 (x2 y2 ) 与平面 z 4 所围成.曲面与平面的交线是 2
x0
x0
令 cos x 1 t ,则 x 0 时 t 0 ,所以
1
1
lim (1 (cos x 1)) cos x1 lim(1 t) t e ,
x0
t 0
所以
lim (1 (cos
x0
1 (cos x 1)
(cos x 1)
lim (cos x 1)
x 1)) cos x 1 x lim e x e x0 x .
lim
x0
y
lim
x0
1 1
e x2 e x2
lim
x0
ex2 ex2
1 ,所以 x 0 为铅直渐近线, 1
lim
x
y
lim
x
1 1
e x2 e x2
lim
x
ex2 ex2
1 1 ,所以 y 1为水平渐近线. 1
所以选(D).
【相关知识点】铅直渐近线：如函数
y
f
(x)
在其间断点
x
x0 处有
2, 3,)
,
a0
2
1(2
0
x)dx
5.
因为 f (x) 2 | x | 在区间 (1 x 1) 上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
f (x) 2 | x |
a0 2
n1
an
cos
n l
x bn sin
n l
x
5 2
n1
2(cos n n2 2
1)
cos
n
x
5 4 2 2ຫໍສະໝຸດ 本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
注意：
A
0
0 B
1
A1 0
0 0
B
1
,
B
A 1
0
0 A1
B1 .
0
对于
2
阶矩阵的伴随矩阵有规律：
A
a c
b
d
,则求
A
的伴随矩阵
A*
a c
b d
d c
b
a
.
如果 A 0 ,这样
a
c
b d
1
1d
A
lim
x0
1
(1 ax2)3 1
cos x 1
lim x0
1 ax2 3 1 x2
2 3
a
.
2
因为当
x
0
时,
(1
ax2
)
1 3
1
与
cos
x
1
是等价无穷小,所以
2
a
1,故
a
3
.
3
2
1 2 0 0
2
5
0
0
(5)【答案】
0
0
1 3
2 3
.
0
0
1 3
1 3
【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据
xdx 0(n 1, 2,3,) ,
an
1 l
l f (x) cos n
l
l
xdx 2 l
l f (x) cos n
0
l
xdx
2
1(2
0
x) cos n xdx
4
1cos n xdx
0
2 n
1 xd sin n x
0
2
n
1
sin
0
n
xdx
2(cos n n2 2
1)(n