高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：数列通项的求注一(归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法)【知识要点】一、数列的通项公式如果数列〈an ?的第n 项a n 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即a . = f (n).不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在： a n 1 -a n = d(常数)或a n 1二q,(q = 0)的关系，可采用求等差数列、a n等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：S n 二f (a n )或S n 二f(n)的关系,$ (n =1)可以利用项和公式 a=，求数列的通项.nIS n —S n 』(n >2)3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：a n - a n 』二f (n) (n _ 2)的关系，可用“累加法”求通项5、构造法：(见下一讲)*【例 1】在数列｛a n ｝中，ai =6，且 a n - a n4心5 1 (n ，N , n - 2)，n(1)求 a 2,a 3, a 4的值;(2)猜测数列｛ a n ｝的通项公式，并用数学归纳法证明【解析】 ⑴ ^-12^=20^ = 30a n 与项数n 的关系，猜想数列4 、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在:a n=g( n)( n 一2)的关系, 可用“累乘法”求通项a n J<2)猜测q = 3+10+2)下用数学归纳法证明：①当科=1.2,?・4时,显然成立；②fii设当科二上(上之4,上丘讯)时成立，即有级=仏十】)(无+ 2儿贝I］当冲二七+】时，由1 p ”曰W + 1 r碍一勺-1 = —— +呛十1倚务=-- 口_丄+曲+ 1 jH n古攵= ：：「比+ 上 +1 +1 = |T±(jt+lX)t 十2)+t+ 2= (jt+2)1+(Jt+2)=(^+2XAr+3)、故冲=亡+1 时等式成立；由①®可知，a n= (n+lXn+2)对一切n e A**均成立一【点评】(1 )本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明•( 2)归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想•如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法•【反馈检测1】在单调递增数列｛a n｝中，a i =1，a2 =2，且a2ni,a n,an+成等差数列，a2n , a?卄，a2n半成等比数列，n = 1,2,3,(1 )分别计算a3, a5和a4 , a6的值；(2)求数列｛a n｝的通项公式(将a n用n表示);(3)设数列｛—｝的前n项和为Sn，证明：S :：：-4^ , n・N * .a n n+2使用情景已知数列是等差数列或等比数列或已知S n = f (a n)或S n = f (n).解题步骤已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差(比)数列的基本量a1,d(q)，再代入等差(比)数列的通项公式；已知S n = f (a n)或S n = f(n)的关系，可以利用项和公式S (n =1)a n=《，求数列的通项.学科*网S 一S n」(n X 2)【例2】已知数列:a n 1, S n是其前n项的和，且满足a i =2 ,对一切n • N ”都有S n 3S n - n2• 2 成立，设b n=a n• n .(1 )求a2; (2)求证：数列仏？是等比数列;(3)求使丄•丄1. 40成立的最小正整数n的值.b i b2 b n 81【解析】⑴由场=2及Sg — 33^ + + 2 当科=1时a2 ~7(丄)由^3S n+n2 + 2及気二35^ + (i7-l):+2 (n>2)得- 3a H +2川一1,故(务4-« +1) = 3(陽 + n),即纭严3® 0王2),当“ 1时上式也成立,故⑹提以3为百项，3为公比的等比数列故3" >81解得心4,最小正整数科的值5【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项【反馈检测2】已知等比数列｛a n｝中，q =64,公比q =1, a21a31a4又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.(1)求a n; (2)设b n -log2a n,求数列｛| g |｝的前n 项和T n.【例3】数列｛a n｝的前n项和为S n, 6=1, a n・1=2S n( n € N”)，求｛a n｝的通项公式⑶由⑵得= =2【解析】由场二「隔=2£电当炉2时冷二-务)得也期因此也」罡首项为2J.fl(n=l)①屯qp 的等比数列.故^=2x3^ (心2),而绚P 不满足该式」所以心二=勺“ ^2x3^2(n>2)【点评】(1)已知S n =f(a n )或S n =f( n)，—般利用和差法.如果已知S ^： f (a n 1)或f(a nj )也可 以采用和差法•( 2)利用此法求数列的通项时，一定要注意检验n =1是否满足，能并则并，不并则分 •【例4】已知函数f(x)二「3x —6x ，&是数列｛a n ｝的前n 项和，点(n ,&)( n ・N“)在曲线y=f(x)1 a ♦ b 上.(I)求数列｛a n ｝的通项公式；(n)若b n =(—)2 , C n = __-，且T n 是数列｛ C n ｝的前n 项和.试26问T n 是否存在最大值？若存在，请求出 T n 的最大值；若不存在，请说明理由【解析】(I)因为点(n,S n )在曲线y = f(x)上，又f(x) =-3x 2 • 6x ，所以S ^-3n 2 6n .当 n 时，a i 二 S =3.22当 n 1 时，a n -S n J 1=(-3n6n)-[-3(n-1) 6(n -1)] = 9-6n所以 a n =9 -6n .1 1(9 -(n)因为 0 =(—)"」,G = - a n b n :2 6 611 2 13,丄1nT n(-1)(亍 (-3)(亍 川(3-2n )U ),2 2 2 2 九=(弓2 (一1)(弓3(一3)(£)4 川(3-2 门疋厂1, 2 2 2 2 2111 1 1 1②—③得 -T n =- (-2)(-)2 (-2)(；)3 •(-2)(；)n -(3-2n)(；)n 勺2 2 2 22 21(尹口-(2严]1=2(2)212 (3-2n)(*21 -― 221 整理得 T n =(2n 1)(-)n -1 , 2方法一 利用差值比较法 由④式得T n(2 n 3)(-)n 1 -1，所以①所以n」1因为n _1，所以丄-n ：：：0.21又(_)n 0 ,所以 T n d-T n :：: 0 所以「i :：:「,21 所以T i T 2・T| •… T n ・T n1 •….所以Tn 存在最大值T i . 2方法二利用商倩比较法 由④式得7；+1=(2«+^-)* >0.£-(加打2卄 3 GTT人+15 + 1x4 2(2 讪)2(2 小厂所次匚】+ 1<匚+1,即所次五> 所口存在最大值7；=^方法三利用放缩法由①式得C n 1二[3 -2(n 1)]( A )n 1 =(1 _2n)』)n1 ：：： 0，又因为T 是数列 ©｝的前n 项和，2 2所以 T n 1 <T n 'Cm：：：「•所以 T iT 2T^T n ，T n 1 •…1所以T n 存在最大值T i .2【反馈检测3】已知数列｛a n ｝的前n 项和S n = — a n~2“1 ■— ( n = 1,2,3, 4…)，求｛ a n ｝的通项公 3 3 3式•方法三累加法Tn A ―人=(2n 'n—(2 n 1n1—[(2 n 3)(2)-(2 n 1n二[n | 一(2n 1n使用情景 在已知数列中相邻两项存在：a n -a n 」=f( n) (n32)的关系解题步骤先给递推式a n-a n 」= f( n) (n >2)中的n 从2开始赋值，一直到 n ，—共得到n-1个式子，再把这n-1个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项【例4】已知数列a 二 讣 a i =1, a^a nj ■ 2, 0二匹 , 为数列 ⑴的前项和，人a n an*为数列s ［的前n 项和•(1)求数列；a n ?的通项公式；(2)求数列 b 詁勺前n 项和S n ；(3)求证：T n- --• 2 3【解析】(〔)法：-an — an□ '2 . a^ -(ai _ai-) '(ai 二…ai_2)■ '(S2 -ai) ■ ai ,1 _2n= 2n 」2n_2亠 亠2 1 二 ------ =2n _11-2曰以-衲首项，以?为公比的等比数列一二“才-1赫2 林 _1)_(2「1)]—丄=_ ( 鼻 ― : )(2^-lX2fl_1-l)~ (2fl-lX2^-l)~2 2K-1 2^-112^12:-? +(2;-1_23-?+ +t 2B-l"2^-P_ -!_ __ 1丄丄2^-12 2(2“-1)2 3-2^2k-2~ 2 3-T n 胡+①+…十恥牛-+…+21-1 1(3〉证明：TS 上01(1一【点评】(1)本题an -an4二n T ，符合累加法的使用情景 a^an^ - f(n)(n 一 2)，所以用累加法求数列的通项•( 2)使用累加法时，注意等式的个数，是n-1个，不是n 个.又-^-1=4二数列【反馈检测4】已知数列｛a n｝满足a n d= a n ■ 2 3n 1,印=3，求数列｛a n｝的通项公式【例5】已知数列3 满足a-i =-,a n A = —an,求a n3n +1【解析】由条件知空井别令n = tl^4……代入上式得网一1个等式累乘，即比用+ 1竺仝一兰……2二丄x^Ex一……X口一空=2勺幻 6 % 2 3 4 n n【点评】(1 )由已知得色」二」,符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项a n n+1 (2)使用累乘法求数列的通项时，只要写出n-1个等式就可以了，不必写n个等式.【反馈检测5】已知数列｛a n｝满足a n - =2(n 1)5n a., a- =3，求数列｛a n｝的通项公式.8 82 k 1a2(k 1)= a 2k 2a2k(k 1)(k 2)2(k 1)2••• n 二k 1时，猜想也成立. •••当n 为奇数时，a n当n 为偶数时，a n(k 2)2l(k 1) 112由①②，根据数学归纳法原理，对任意的n +1 n +121(n 1)(n 3)(n 2)2 '(n+1) (n+3),n 为奇数 猜想成立.即数列｛a n ｝的通项公式为a n(n 2)2n 为偶数9【反馈检测1答案】玄3 = 3 ,玄5 = 6 , a 4,= 8 .29【反馈检测1详细解析】（1〉由已矩，得^=3,码=6, a 4 = ^ 兔1x26二猜想盘3=竺迪■知=也工，朋用以下用数学归纳法证明之・22①当 n = 1 时，a 21」=a 1 = 1, a 212 , 2高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲:数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、 累乘法）参考答案123x4猜想成立;②假设n 二k （k _1,k • N*）时，猜想成立，即a 2k 4k(k -1)2(k 1),a 2k =2 2,那么cc (k+1)2 a 2(k 1) 1 二 a ?" =2a ?k -a 2k 」=2-k(k 1)(k 1)l(k 1)11⑶证明：（方法1〉1 8_兀(n + 2\n+2) 综上，—8(亠-丄X^N")G n+1 n+2< 8(———十一 一—I — - - ---- ) 2334 n+1 w+24«n + 2那么，当k 为奇数时,k 1 4(k 1) _ 8k 3 一 k 3 (k 2)(k 3)2当k 为偶数时,S k 1二S ka k 14k 8k 2 (k - 3)2当冲为奇数时，-=8 (w + lXw + 3)- S “ (《 + 亦+2)=8(当幵为偶数时… （方法2）由（2）得(n 1)(n3)8 (n 2)2,n 为奇数 n 为偶4n以下用数学归纳法证明时…“ N* .1 4 4"①当 n = 1 时，Si = — = 1 ：：：—= -- ；ai 3 1 + 21 11 3 4 汽2 当n=2时，S 二丄 丄=1丄二空：：2 =a a222 +2n =1,2时，不等式成立.②假设n 二k （k 一2）时，不等式成立，即 S k4k k 2k 3IL k 2 (k 3)24(k 1) (k 1)21n+1 （最+ 2严右ai a i4(k+1) *彳「k 丄 2 k+q 4(k+1) 8k 3 |^^"2 (k 2)(k 4) _= k 3 - (k 2)(k 3)(k 4)n (13 - n) ⑵ T n »(n — 7)(n 2—6)+21 - 2【反馈检测2详细解析】（1）依题意有a 2-a A = 乂令—q ）』 艮卩 2a 4-3a 2 +a 2 - 0 3 2口何』-3a^2 +口应二 0,即 一+1 = 0 2* 1, /. Q ——.故 ^ = 64x(lr l .⑵耳=log 1[64x(l)n "1] TogQ J = 7-心 r —旳 « <7.■dM=寸\n- ： w > 7.旳(13—切7M > 70寸』山_风_6) = n _ (和-风-6)* 石【反馈检测3答案】a n =4n -2n S k 1 二 S k ' 4k------+ --------------------k 2 (k 2)(k - 4) n(13 —«) 故 ^^1 -7X^-6) + 21(M 冬7)=(心 7)一4(k 1)"(k 1) 2 n =k 1时，不等式也成立.综上所述: 4nn 21 【反馈检测2答案】（1） a n =64 （丄广」；2 (n 乞7),(n 7).4 1 ,2 4 1【反馈检测3详细解析】由乞二严- = x2吋+寸(n=l,趴3……)•・•①得坷=S产严—§x4 + W41所以他=2再和产二％]—亍( n = 13-)②~亠耳 4 1 丨「将①和②相减得:g厂肓(％-2竹整理得务+ 2—4｛兀]+ 2J (n=2＞卄)因而数列｛耳+2用｝是首项⑷+2=4越=4的等比数列•即弧+ 2"=4x4^=4n「因而^ = 4n-2s・【反馈检测4答案】a n = 3n• n -1.学科*网【反馈检测4详细解析】由a n a n 2 3n 1得a n ^a^2 3n 1则a n = (a^ —a n i) ■ (a n A—a n _2J H ' @3 -^2) @ —a j a-i=(2 3nl 1) (2 3心1) 11( (2 321) (2 3-1) 3 =2(3心3心11( 323)(n-1) 3=2型- (n -1) 3 =3n -3 n -1 3 =3n n -1 所以a^3n - n -1.1 -3n(n .1)【反馈检测5答案】a n=3 2nd 5 2n!.aa^3，所以a n =0，则4 =2( n • 1)5n,【反馈检测5详细解析】因为a n1=2(n，1)5n a n,故a n 乩•也川电匹a1a n4 a n4 a2 a1= [2( n-1 1)5n'][2 (n-2 1)5n J 川[2(2 1) 52][2(1 1) 51] 3= 2n'[n(n -1)川3 2] 5(nJ) (n^^' 21 3n( n书=3 2n‘ 5^ n!n(n X)所以数列｛a n｝的通项公式为a n =3 2n4 5^ n!.。