§6 平面向量数量积的坐标表示, )1．问题导航(1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗？(2)向量有几种表示方法？由于表示方法的不同，计算数量积的方法有什么不同？(3)由向量夹角余弦值的计算公式可知，两个向量的数量积和两个向量夹角的余弦值有什么关系？2．例题导读P 96例1.通过本例学习，学会利用平面向量数量积的坐标表示计算两向量夹角的余弦值． 试一试：教材P 99练习T 1你会吗？P 98例2，P 99例3.通过此二例学习，体会向量在解析几何中的应用，学会利用平面向量的数量积求曲线的方程．试一试：教材P 100习题2－6B 组T 6你会吗？P 99例4.通过本例学习，学会利用向量的夹角公式求两条直线的夹角． 试一试：教材P 100习题2－6A 组T 6你会吗？1．向量数量积的坐标表示向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．简记为“对应相乘计算和”．2．两个向量垂直的坐标表示向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，2)．( )(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a ，b 的夹角θ满足cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.( )(3)若A (1，0)，B (0，－1)，则|AB →|＝ 2.( )解析：(1)错误．直线x ＋2y －1＝0的方向向量为(1，－12)．(2)错误．当a ≠0且b ≠0时，向量a ，b 的夹角θ满足cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，即向量夹角公式的适用范围是a ≠0且b ≠0.(3)正确．由两点间的距离公式，得 |AB →|＝（0－1）2＋（－1－0）2＝ 2. 答案：(1)× (2)× (3)√2．已知向量a ＝(－4，7)，向量b ＝(5，2)，则a ·b 的值是( ) A ．34 B ．27 C ．－43 D ．－6解析：选D.因为a ＝(－4，7)，b ＝(5，2)，所以a ·b ＝(－4，7)·(5，2)＝－4×5＋7×2＝－20＋14＝－6.3．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m ). 若向量a ，b 的夹角为π6，则实数m ＝( )A ．2 3B ． 3C ．0D ．－ 3 解析：选B.因为a ·b ＝(1，3)·(3，m )＝3＋3m ，又a ·b ＝12＋（3）2×32＋m 2×cos π6，所以3＋3m ＝12＋（3）2×32＋m 2×cos π6，所以m ＝ 3.1．对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展．(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点P (x ，y )，使得OP →＝a ＝(x ，y )，故|OP →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点P 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，故|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．2．在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)当a ，b 是坐标形式时，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22(其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))求解．3．如何用向量所成的角来判断直线所成的角 可以借助向量所成的角来判断直线所成的角，但必须注意两者的范围不同，向量夹角的范围是[0，π]，而直线夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.设m ，n 分别为直线l 1，l 2(l 1与l 2不重合)的方向向量，θ为m 与n 的夹角，α为l 1与l 2所成的角，则(1)当θ＝0°或180°时，l 1∥l 2，此时α＝0°， (2)当0°<θ≤90°时，l 1与l 2所成的角α＝θ，(3)当90°<θ<180°时，l 1与l 2所成的角α＝180°－θ.平面向量数量积的坐标运算已知向量a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，c ＝(2，1)．求： (1)a·b ； (2)(a ＋b )·(2a －b )； (3)(a ·b )c ，a (b ·c )；(4)(a ＋b )2，(a ＋b )·(a －b )． (链接教材P 98例1) [解] (1)a·b ＝(1，3)·(2，5)＝1×2＋3×5＝17. (2)法一：因为a ＋b ＝(1，3)＋(2，5)＝(3，8)， 2a －b ＝2(1，3)－(2，5)＝(2，6)－(2，5)＝(0，1)， 所以(a ＋b )·(2a －b )＝(3，8)·(0，1)＝3×0＋8×1＝8. 法二：因为a ＝(1，3)，b ＝(2，5)，所以a 2＝12＋32＝10，b 2＝22＋52＝29，a ·b ＝1×2＋3×5＝17. 所以(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2＋a ·b －b 2 ＝2×10＋17－29＝8. (3)(a·b )c ＝17c ＝17(2，1)＝(34，17)， a (b·c )＝a ((2，5)·(2，1))＝9(1，3)＝(9，27)． (4)因为a ＋b ＝(3，8)，所以(a ＋b )2＝|a ＋b |2＝32＋82＝73. 因为a ＝(1，3)，b ＝(2，5)所以a 2＝12＋32＝10，b 2＝22＋52＝29， 所以(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝10－29＝－19.方法归纳(1)关于数量积的坐标运算，解题时常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算．二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)在正确理解公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2的基础上，熟练运用a 2＝|a |2，(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2，(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2及其变形，并在练习中总结经验，提高运算能力．1．(1)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，且a ·b ＝－1，则x 的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32(2)设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量()a ＋2b ·c ＝( ) A ．(－15，12) B ．0 C ．－3 D ．－11 (3)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)． ①求a·(a －b )； ②求(2a ＋b )·(a －b )．解：(1)选D.因为a ＝(1，2)，b ＝(2，x )，所以a·b ＝(1，2)·(2，x )＝1×2＋2x ＝－1，解得x ＝－32，故选D.(2)选C.依题意，a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a ＋2b )·c ＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.故选C. (3)①法一：因为a ＝(－1，2)，b ＝(3，2)， 所以a －b ＝(－4，0)． 所以a ·(a －b )＝(－1，2)·(－4，0)＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.法二：a ·(a －b )＝a 2－a ·b＝(－1)2＋22－[(－1)×3＋2×2]＝4.②因为2a ＋b ＝2(－1，2)＋(3，2)＝(－2，4)＋(3，2)＝(1，6)， a －b ＝(－1，2)－(3，2)＝(－4，0)， 所以(2a ＋b )·(a －b )＝(1，6)·(－4，0)＝－4.向量的夹角与垂直问题(1)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，k )，且a 与b 的夹角为锐角，则实数k 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B.⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－2) D ．(－2，2)(2)已知a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ (链接教材P 99例4)[解] (1)选B.当a ，b 共线时，2k －1＝0，k ＝12，此时a ，b 方向相同，夹角为0°，所以要使a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0且a ，b 不同向．由a·b ＝2＋k >0得k >－2，且k ≠12，即实数k 的取值范围是(－2，12)∪(12，＋∞)．(2)a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)， 因为(a ＋m b )⊥(a －b )， 所以(a ＋m b )·(a －b )＝0，即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0，所以m ＝233.本例(1)条件换成“a 与b 的夹角为钝角”，求实数k 的取值范围．解：若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0且a ，b 不反向，由a·b ＝2＋k <0得k <－2，经检验对k <－2的所有值均满足a 与b 的夹角为钝角，即实数k 的取值范围是(－∞，－2)．方法归纳利用数量积求两向量夹角的步骤2．(1)已知a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)，若k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 的值为( ) A ．－1＋ 3 B ．－1－ 3 C ．－1±3 D ．1± 3(2)在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． 解：(1)选C.因为a ＝(1，1)，b ＝(0，－2)， 所以k a －b ＝(k ，k ＋2)，a ＋b ＝(1，－1)，所以|k a －b |＝k 2＋（k ＋2）2， |a ＋b |＝12＋（－1）2＝ 2. 所以(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1) ＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，所以cos 120°＝（k a －b ）·（a ＋b ）|k a －b ||a ＋b |＝－2k 2＋（k ＋2）2·2＝－12.整理得k 2＋2k －2＝0， 解得k ＝－1±3.(2)当A ＝90°时，AB →·AC →＝0， 所以2×1＋3×k ＝0，所以k ＝－23；当B ＝90°时，AB →·BC →＝0， BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3) ＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0，所以k ＝113；当C ＝90°时，AC →·BC →＝0， 所以－1＋k (k －3)＝0，所以k ＝3±132.平面向量数量积的综合运用已知△ABC 的顶点分别为A (2，1)，B (3，2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，求：(1)D 点的坐标以及|AD →|；(2)判断△ABC 的形状，并说明理由． (链接教材P 100习题2－6 A 组T 2、T 5) [解] (1)设D 点的坐标为(x ，y )， 由题意可知BC ⊥AD ，又B ，C ，D 三点共线，故BC →∥BD →，因为AD →＝(x －2，y －1)， BC →＝(－6，－3)，BD →＝(x －3，y －2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）×（－6）＋（y －1）×（－3）＝0，（y －2）×（－6）－（x －3）×（－3）＝0，解得⎩⎨⎧x ＝95，y ＝75，所以AD →＝⎝⎛⎭⎫－15，25， 所以|AD →|＝⎝⎛⎭⎫－152＋⎝⎛⎭⎫252＝55，所以D 点的坐标为⎝⎛⎭⎫95，75，|AD →|＝55. (2)因为AC →＝(－5，－2)，AB →＝(1，1)，所以AC →·AB →＝(－5)×1＋(－2)×1＝－7， |AC →|＝（－5）2＋（－2）2＝29， |AB →|＝ 2.所以cos A ＝AC →·AB →|AC →||AB →|＝－758<0，所以A 为钝角．所以△ABC 为钝角三角形．方法归纳利用平面向量解决平面几何问题时，就是将几何中的平行、垂直、线段的长、夹角等问题转化为求向量的共线，数量积模长及向量的夹角等运算，即将“形”的求解与证明转化为“数”运算问题．解决此类问题的关键就是建立恰当的直角坐标系，使几何中的元素用向量表示．3．(1)已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则λ的取值范围是________．(2)如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点，四边形PFCE 是矩形，试用向量的方法证明P A ⊥EF .解：(1)因为a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， 所以|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a·b ＝λ－1.因为a ，b 的夹角θ为钝角，所以⎩⎨⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0，所以λ<1且λ≠－1， 所以λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，1)．故填(－∞，－1)∪(－1，1)． (2)证明：以点D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系．设正方形的边长为1，|DP →|＝λ，则A (0，1)，P ⎝⎛⎭⎫22λ，22λ，E ⎝⎛⎭⎫1，22λ，F ⎝⎛⎭⎫22λ，0，于是P A →＝⎝⎛⎭⎫－22λ，1－22λ，EF →＝⎝⎛⎭⎫22λ－1，－22λ.因为P A →·EF →＝⎝⎛⎭⎫－22λ·⎝⎛⎭⎫22λ－1＋⎝⎛⎭⎫1－22λ·⎝⎛⎭⎫－22λ＝－22λ·⎝⎛⎭⎫22λ－1＋1－22λ＝－22λ·0＝0，所以P A →⊥EF →，即P A ⊥EF .(本题满分12分)已知OP ＝(2，1)，OA ＝(1，7)，OB ＝(5，1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取到最小值时的OC →； (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB .[解] (1)因为点C 是直线OP 上一点，所以向量OC →与OP →共线，2分 设OC →＝tOP →，则OC →＝(2t ，t )． CA →＝OA →－OC →＝(1－2t ，7－t )， CB →＝OB →－OC →＝(5－2t ，1－t )，4分 CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t )＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8，6分当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4，2)． 8分(2)当OC →＝(4，2)时， CA →＝(－3，5)，CB →＝(1，－1)，所以|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－8，所以cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.12分[规范与警示] (1)在处，由向量OC →与OP →共线建立关系式OC →＝tOP →，是正确解答本题的关键，易因想不到此关系造成失分．在处，利用向量的线性运算得到CA →，CB →的坐标，是正确建立数量积“CA →·CB →”的函数关系的关键，也是失分点．(2)①注意隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C 是直线OP 上的一点”隐含着“向量OC →与OP →共线”．②注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问．1．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，x )，若a ·b ＝3，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3解析：选D.根据平面向量坐标下的运算法则，可知a ·b ＝2×3＋(－1)x ＝6－x ＝3，求解方程可以得到x ＝3，故选D.2．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( ) A ．2 B ． 2 C ．1 D ．4 解析：选A.由题意得(2a －b )·b ＝(3，n )·(－1，n )＝－3＋n 2＝0，所以n 2＝3，|a |＝1＋3＝2.3．设向量a 与b 的夹角为θ，且a ＝(3，3)，2b －a ＝(－1，1)，则cos θ＝________．解析：b ＝(1，2)，cos θ＝3×1＋3×232×5＝31010.答案：310104．已知a ＝(4，－3)，b ＝(2，1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则实数t ＝________． 解析：因为a ＝(4，－3)，b ＝(2，1)， 所以a ＋t b ＝(2t ＋4，t －3)，所以(a ＋t b )·b ＝5t ＋5，又因为|a ＋t b |＝（2t ＋4）2＋（t －3）2＝5t 2＋10t ＋25， |b |＝5，且(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°，所以5t ＋5＝5t 2＋10t ＋25×5×22，整理得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3， 经检验知t ＝－3不成立，故t ＝1. 答案：1[A.基础达标]1．设向量a ＝(2，0)，b ＝(1，1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝12C ．(a －b )⊥bD ．a ∥b 解析：选C.因为a ＝(2，0)，b ＝(1，1)， 所以|a |＝2，|b |＝2，故|a |≠|b |，A 错误； a·b ＝(2，0)·(1，1)＝2×1＋0×1＝2，故B 错误；因为a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝(1，－1)·(1，1)＝0，所以(a －b )⊥b ，故C 正确． 因为2×1－0×1≠0，所以a 与b 不共线，故D 错误．2．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3D ．152解析：选C.因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)．因为(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3.故选C.3．若a ＝(x ，2)，b ＝(－3，5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B ．⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D ．⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 解析：选C.x 应满足(x ，2)·(－3，5)<0且a ，b 不共线，解得x >103且x ≠－65，所以x >103.4．如图是函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2的部分图像，则OB →·BA →等于( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝1，结合图像可得x ＝3，即B (3，1)，令tan ⎝⎛⎭⎫π4x －π2＝0，结合图像可得x ＝2，即A (2，0)，从而OB →＝(3，1)，BA →＝(－1，－1)，OB →·BA →＝－4，故选B.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，点C 在第二象限内，∠AOC ＝5π6，且|OC →|＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ，μ的值是( ) A.3，1 B ．1， 3 C ．－1， 3 D ．－3，1解析：选D.因为∠AOC ＝5π6，所以∠BOC ＝5π6－π2＝π3.因为OC →＝λOA →＋μOB →＝(λ，μ)，所以OC →·OA →＝(λ，μ)·(1，0)＝|OC →|·|OA →|cos 5π6，即λ＝2×(－32)＝－3，OC →·OB →＝(λ，μ)·(0，1)＝|OC →||OB →|cos π3，即μ＝2×12＝1.所以λ＝－3，μ＝1，故选D.6．已知点A (－1，1)、B (1，2)、C (－2，－1)，D (3，4)，则向量CD →在AB →方向上的投影为________．解析：因为AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，所以AB →·CD →＝(2，1)·(5，5)＝15，|AB →|＝22＋12＝ 5.所以向量CD →在AB →方向上的投影为|CD →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|＝155＝3 5.答案：3 57．若M (2，0)，N (0，2)，且点P 满足MP →＝12MN →，O 为坐标原点，则OM →·OP →＝________．解析：设P (x ，y )，由MP →＝12MN →，得(x －2，y )＝12(－2，2)＝(－1，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－1，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以OM →·OP →＝(2，0)·(1，1)＝2. 答案：28．若a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．解析：因为a ∥b ，所以x ＝4，所以b ＝(4，－2)， 所以a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )， 因为(a ＋b )⊥(b －c )， 所以(a ＋b )·(b －c )＝0，即6－3(－2－y )＝0，所以y ＝－4，故向量MN →＝(－8，8)，|MN →|＝8 2. 答案：8 29．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－6，4)．(1)当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？ (2)当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 垂直？解：因为a ＝(2，4)，b ＝(－6，4)，所以k a ＋b ＝k (2，4)＋(－6，4)＝(2k －6，4k ＋4)，a －3b ＝(2，4)－3(－6，4)＝(20，－8)．(1)因为(k a ＋b )∥(a －3b )，所以－8(2k －6)＝20(4k ＋4)，解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝(－203，83)，所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且它们是反向的．(2)因为k a ＋b 与a －3b 垂直，所以(k a ＋b )·(a －3b )＝0，即(2k －6，4k ＋4)·(20，－8)＝0，即40k －120－32k －32＝0，解得k ＝19.即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．10．已知点A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)．(1)若|AC →|＝|BC →|，求tan θ的值；(2)若(OA →＋2OB →)·OC →＝1，其中O 为坐标原点，求sin θ＋cos θ的值．解：(1)因为A (1，0)，B (0，1)，C (2sin θ，cos θ)，所以AC →＝(2sin θ－1，cos θ)，BC →＝(2sin θ，cos θ－1)，因为|AC →|＝|BC →|，所以（2sin θ－1）2＋cos 2θ＝（2sin θ）2＋（cos θ－1）2，化简得2sin θ＝cos θ.因为cos θ≠0(若cos θ＝0，则sin θ＝±1，上式不成立)，所以tanθ＝12.(2)因为OA →＝(1，0)，OB →＝(0，1)，OC →＝(2sin θ，cos θ)，所以OA →＋2OB →＝(1，2)，因为(OA →＋2OB →)·OC →＝1， 所以2sin θ＋2cos θ＝1，所以sin θ＋cos θ＝12.[B.能力提升]1．在四边形ABCD 中，AC →＝(1，2)，BD →＝(－4，2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5C ．5D ．10解析：选C.因为AC →·BD →＝(1，2)·(－4，2)＝－4＋4＝0，所以AC →⊥BD →，所以S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 2．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →＝( ) A ．－23 B ．－12C ．－13D ．－16解析：选B.法一：如图，建立直角坐标系，则A (1，0)，B (0，0)，C ⎝⎛⎭⎫12，32，D ⎝⎛⎭⎫13，0，E ⎝⎛⎭⎫34，34， CD →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32，BE →＝⎝⎛⎭⎫34，34， CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫34，34＝－16×34－32×34＝－18－38＝－12. 法二：设AB →＝a ，AC →＝b ，则|a |＝|b |＝1，a 与b 的夹角为60°.BE →＝AE →－AB →＝12b －a ，CD →＝AD →－AC →＝23a －b ， 所以BE →·CD →＝(12b －a )·(23a －b ) ＝－23a 2－12b 2＋43a ·b ＝－23－12＋43×cos 60° ＝－12. 3．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________．解析：因为向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b ·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以a ·c |a ||c |＝b ·c |b ||c |，即a ·c |a |＝b ·c |b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025，解得m ＝2.答案：24．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE＝λBC ，DF ＝μDC ，若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝________． 解析：以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系xOy ，不妨设A (0，－1)，B (－3，0)，C (0，1)，D (3，0)，由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF→＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1)．因为CE →·CF →＝－23，所以3(λ－1)(1－μ)＋(λ－1)(μ－1)＝－23，即(λ－1)(μ－1)＝13. 因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1)，AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF→＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13，（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56. 答案：565．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使m ＝a ＋(t 2－3)b ，n ＝k a ＋t b ，且m ⊥n ，试求k ＋t 2t的最大值． 解：因为a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32， 所以m ＝a ＋(t 2－3)b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋t 2－32，－1＋3t 2－332，n ＝k a ＋t b ＝⎝⎛⎭⎫3k ＋12t ，－k ＋32t ， 又m ⊥n ，所以m·n ＝0，即⎝⎛⎫3＋t 2－32⎝⎛⎭⎫3k ＋12t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋3t 2－332·⎝⎛⎭⎫－k ＋32t ＝0， 所以4k ＋t (t 2－3)＝0，所以k ＝t （3－t 2）4， 所以k ＋t 2t ＝3－t 24＋t ＝14(－t 2＋4t ＋3) ＝－14(t －2)2＋74， 故当t ＝2时，k ＋t 2t 有最大值74. 6．(选做题)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)，(1)当x ，y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 与b 共线，所以存在实数λ，使得a ＝λb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R ，所以当x ＝13，y 为任意实数时，a 与b 共线． (2)由a ⊥b ⇒a ·b ＝0⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.①由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝1或⎩⎨⎧x ＝53y ＝73，所以xy ＝－1或xy ＝359. 所以存在实数x ，y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |，此时xy ＝－1或xy ＝359.。