1.1.1函数的平均变化率课时作业A 级 基础巩固一、单选题1．函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化率为1k ，在区间[]00x x x -∆，上的平均变化率为2k ，则1k 与2k 的大小关系为（ ）A ．12k k >B ．12k k <C ．12k k =D ．不能确定 2．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1 B ．0.21 C ．1.21 D ．0.121 3．一质点的运动方程是253s t =-，则在时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为（ ） A ．36t ∆+ B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t -∆- 4．函数2()sin f x x x =-在[0，π]上的平均变化率为( )A ．1B ．2C ．πD ．2π 5．函数1y x =在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23 B ．23- C ．13- D ．136．某物体沿水平方向运动，其前进距离s （米）与时间t （秒）的关系为()252s t t t =+，则该物体在运行前2秒的平均速度为（ ）（米/秒）A ．18B ．13C ．9D ．1327．函数2y x x =+在1x =到1x x =+∆之间的平均变化率为（ ）A ．2x ∆+B ．3x ∆+C ．()22x x ∆+∆D ．()23x x ∆+∆ 8．函数()2f x x =在区间[]1,2-上的平均变化率为（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3B 级 综合提升9．函数2()1f x x =-在区间[]1,m 上的平均变化率为3，则实数m 的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．410．某公司的盈利y （元）和时间x （天）的函数关系是()y f x =，假设()()()10101000f x f x x x x x >>-≥-恒成立，且()()1001010f f -=，()()2010110f f -=，则这些数据说明后10天与前10天比较（ ） A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，增加的幅度变小二、填空题11．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________.12．函数2()3f x x =在[2, 6]内的平均变化率为________．13．已知函数y =x 2+1在区间[1，1+△x ]上的平均变化率是______．14．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，第二年婴儿体重的平均变化率为_________ kg/月．C 级 拓展探究三、解答题15．比较函数()2x f x =与1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率的大小.16．（1）计算函数2()f x x =从1x =到1x x =+∆的平均变化率，其中x ∆的值为：①2；②1；0.1；④0.01（2）思考：当x ∆越来越小时，函数()f x 在区间[]11x +∆，上的平均变化率有怎样的变化趋势？参考答案1．A【分析】根据函数的平均变化率的定义表示1k 与2k ，作差可得选项.【详解】因为函数()2y f x x ==在区间[]00x x x +∆，上的平均变化量为2200000()()()()(2)f x x f x x x x y x x x =+∆-=+∆-=∆+∆∆， 所以102.y k x x x∆==+∆∆， 函数()2y f x x ==在区间[]00x x x -∆，上的平均变化量()2200000()()()(2)f x f x x x x x x x x y =--∆=--∆=∆-∆∆， 所以202y k x x x∆==-∆∆，所以122,k k x -=∆，又0x ∆>，所以12k k >， 故选：A.2．A【分析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解】 1.110.1x ∆=-=，22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---=所以函数2()1f x x =-在区间[1,1.1]上的平均变化率为(1.1)(1)0.21 2.10.1y f f x x ∆-===∆∆. 故选：A3．D【分析】由平均变化率的定义计算．【详解】()2253(1Δ)531Δt v t ⎡⎤-+--⨯⎣⎦= 63Δt =--.故选：D ．4．C【分析】根据平均变化率的公式，计算出平均变化率.【详解】平均变化率为()()2π0πππ0πf f -==-. 故选：C【点睛】本小题主要考查平均变化率的计算，属于基础题.5．C【分析】由题意结合平均变化率的概念计算出当11x =、23x =时y 的取值，再由y x ∆∆即可得解. 【详解】当11x =时，1111y ==；当23x =时，213y =； 所以函数1y x =在1x =到3x =之间的平均变化率为21211113313y y x x y x -∆===-∆---. 故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的求解，考查了运算求解能力，熟练掌握公式是解题关键，属于基础题.6．C【分析】利用平均变化率的定义可得出该物体在运行前2秒的平均速度为()()202s s -，进而可求得结果.【详解】()252s t t t =+，因此，该物体在运行前2秒的平均速度为()()2018922s s -==（米/秒）.故选：C.【点睛】本题考查平均速度的计算，考查平均变化率的定义，考查计算能力，属于基础题.7．B【分析】直接代入平均变化率公式即得解.【详解】222(1)(1)11()3y x x x x ∆=+∆++∆--=∆+∆, 所以2()33y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆. 故选：B【点睛】本题主要考查平均变化率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 8．B【分析】 直接利用平均变化率公式2121()()f x f x x x --进行求值. 【详解】因为()2f x x =， 所以()f x 在区间[]1,2-上的平均变化率为(2)(1)4112(1)3f f ---==--. 故选：B【点睛】 本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.9．B【分析】根据题意，求出函数在间[]1,m 上的平均变化率，解方程即可得答案．【详解】解;由已知得()2211131m m ---=-，∴13m +=，∴2m =，故选B.【点睛】本题考查变化率的计算，注意变化率的计算公式，属于基础题．10．D【分析】根据平均变化率与增长幅度的关系说明．【详解】平均变化率为正说明盈利是增加的，平均变化率变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的，故选D ．【点睛】本题考查平均变化率的实际意义，属于基础题．11．11e - 【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可.【详解】函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为：()()1111f e f e e -=--. 故答案为：11e - 12．24【分析】 利用平均变化率的求解方法求解.【详解】(6)108,(2)12f f ==，所以平均变化率为(6)(2)1081224624f f --==-. 【点睛】 本题主要考查平均变化率的求解，题目较为简单，明确求解步骤是解题关键.13．2+△x【分析】利用平均变化率的公式即可得解．【详解】解：函数y=x 2+1在区间[1，1+△x]上的平均变化率为：22(1)1(11)x x +∆+-+∆=2+△x ． 故答案为2+△x ．【点睛】本题考查了平均变化率的意义及其求法，属于基础题．14．0.25【分析】 直接利用公式w t求即得第二年婴儿体重的平均变化率. 【详解】 14.2511.250.252412w t -==- (kg/月)． 故第二年婴儿体重的平均变化率为0.25(kg/月)．故答案为0.25【点睛】本题主要考查平均变化率的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力. 15．()f x 在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率比()g x 的平均变化率小.【分析】先求出各自的平均变化率，再根据指数函数2x y =的单调性即可得出答案．【详解】解：()2x f x =在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为11()(1)222(1)a a a f f a f a x a a --∆--==-=∆--； 1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率为：111(1)1()(1)122(1)12a a g g a g a x a a ⎛⎫⎡⎤---- ⎪⎢⎥∆--⎝⎭⎣⎦===∆--. 0,11a a <∴-<-111222a --∴<=， ()2x f x ∴=在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率比1()12g x x =-在区间[1,](0)a a a -<上的平均变化率小.【点睛】本题主要考查函数的平均变化率的定义，考查根据指数函数的单调性比较大小，属于基础题．16．（1）答案见解析；（2）平均变化率逐渐变小，并接近于2【分析】（1）利用平均变化率的意义即可得出；（2）观察平均变化率即可得结果．【详解】（1）因为222(1)(1)(1)1()2y f x f x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆ 所以2()22y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆. ①当2x ∆=时，24y x x∆=∆+=∆； ②当1x ∆=时，23y x x∆=∆+=∆； ③当0.1x ∆=时，2 2.1y x x∆=∆+=∆； ④当0.01x ∆=时，2 2.01y x x ∆=∆+=∆. （2）当x ∆越来越小时，由（1）2()22y x x x x x∆∆+∆==∆+∆∆得， 函数()f x 在区间[1,1]x +∆上的平均变化率逐渐变小，并接近于2．【点睛】本题考查平均变化率的求解，是基础题．。