,（7-18）
而 分别是方程
的特解,那么 就是方程（7-18）的特解.
以上定理可以推广到n阶线性微分方程.
5. 二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为
（7-19）
其中 是常数.
方程 叫做微分方程（7-19）的特征方程.
解法①写出微分方程（7-19）的特征方程，并求出特征根.
②解此高阶微分方程，求出满足该方程的未知函数.
③把已求得的函数代入原方程组，求出其余的未知函数.
二、典型题精讲
题型1.一阶微分方程
【方法与技巧】
（1）一阶微分方程的解题步骤：①判断方程类型.一般地判断顺序为：可分离变量方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程；②根据方程类型，确定解题方法（见知识梳理3）；③求方程的解；④如果通过作变量替换后得出方程的解，最后一定要还原.
叫做伯努利方程.
解法①化伯努利方程为一阶线性微分方程
将方程(7-11)两端同除以 ,化为
, (7-12)
在方程（7-12）中，令 ,化为一阶线性微分方程
. (7-13)
②求解方程（7-13），在通解中以 代 得原方程得通解.
3. 可降阶的高阶微分方程
(1) 型的方程.
解法连续积分 次即可求得通解（注意每积分一次出现一个任意常数）.
(2) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ,原方程化为一阶微分方程
(7-14)
②解一阶微分方程
解方程(7-14),设其通解为 ,代入 .再解方程 得原方程的通解为
.
(3) 型的方程.
解法①化为一阶微分方程
令 ,则 ，原方程化为
(7-15)
②解一阶微分方程
解方程（7-15）,设其通解 ，代入 .再解方程 得原方程的通解为
方程
（7-7）
不是齐次方程，但可用下列的变换把它化为齐次方程：令
其中 及 是待定常数.如果方程组
有唯一解，则方程（7-7）可以化为齐次方程
求出该齐次方程的解后，在通解中代入 ，即得方程（7-7）的通解.
（4）一阶线性微分方程
方程
（7-8）
叫做一阶线性微分方程，如果 ，方程（7-8）称为齐次的；如果 ，方程（7-8）称为非齐次的.
微分方程的通解含有独立任意常数的个数等于微分方程的阶数的方程的解.一般形式为 .
注通解不一定是微分方程的全部解.例如,方程
有解 及 .后者是通解但不包括前一个解.
微分方程的特解不含任意常数或通解中的任意常数已被初始条件确定出来的解.
初始条件确定方程（7-1）或（7-2）的通解中n个任意常数的条件（即确定特解的条件）.通常记为
②根据特征根写出微分方程（7-19）的通解.
特征根与通解的关系如下
特征根
两不等的单实根
两相等的实根
一对共轭复根
类似地，n阶常系数齐次线性微分方程
,
其中 为常数，其特征方程
.
特征根与通解的关系如下
特征根
微分方程通解中的对应项
单实根
给出一项:
一对单复根
给出两项:
重实根ห้องสมุดไป่ตู้
给出 项:
一对 重复根
给出 项:
6. 二阶常系数线性非齐次微分方程
解法令 或 ，则
记 ，
一般地,有 .
将上述各式代入原方程，欧拉方程可化为常系数线性微分方程，再求解即可.
8.常系数线性微分方程组
如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么，这种方程组就叫做常系数线性微分方程组.
解法①从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程.
二阶常系数线性非齐次微分方程的一般形式是
,（7-20）
其中 为常数.
（1） 型
解法①求二阶齐次方程（7-19）的通解.
②求方程（7-20）的特解.
在方程（7-20）中,如果 ,可设方程的特解为
,
其中 是与 同次（m次）的多项式,而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1、2.
解法一利用通解公式直接求解.通解公式为
解法二常数变易法
①求方程（7-8）对应的齐次方程的解
齐次方程 是一个可分离变量的微分方程的通解是
. (7-9)
②常数变易
在(7-9)式中,把 换为 ,令
(7-10)
并将(7-10)式代入方程(7-8)，从中求出 ,即得(7-8)的通解.
（5）伯努利方程
方程
(7-11)
第七章微分方程
一、知识点梳理
1. 微分方程的基本概念
微分方程含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程.
一般形式为 （7-1）
或 （7-2）
微分方程的阶微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数.
微分方程的解如果函数 代入方程（7-1）或（7-2）后，使其成为恒等式，即
或
则称函数 为方程（7-1）或（7-2）的解.
定理2设 是方程（7-17）的两个线性无关的特解，则
就是方程（7-17）的通解,其中 、 是任意常数.
推论如果 是 阶齐次线性微分方程
个线性无关的解，那么此方程的通解为
定理3如果 是方程（7-16）的一个特解, 是方程（7-17）的通解,那么
就是方程（7-16）的通解.
定理4设方程（7-16）的右端 是几个函数之和,例如
.
2.一阶微分方程的解法
（1）可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
的形式，那么该方程就称为可分离变量的微分方程.
解法对于一阶微分方程 （7-3）
①分离变量
将方程（7-3）化为 （7-4）
②积分
将方程（7-4）两端积分得通解
（2）齐次方程
如果一阶微分方程可化成
（7-5）
的形式，那么这个方程就称为齐次方程.
③写出方程（7-20）的通解 ，其中 是方程（7-19）的通解， 是方程（7-20）的特解.
（2） 型
解法①、③与（1）相同，②方程（7-20）的特解的设法不同.
如果 ,可设方程的特解为
其中 是 次多项式， ,而k按 (或 )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1.
7.欧拉方程
形如
的方程称为欧拉方程.其中 为常数.
.
4. 高阶线性微分方程的解结构
n阶线性非齐次微分方程的一般形式为
,
当 我们又称其为 阶线性齐次微分方程 .
二阶线性微分方程解的结构
二阶线性非齐次微分方程的一般形式是
,（7-16）
特别地 （7-17）
称为与方程（7-16）对应的齐次方程.
定理1如果 是方程（7-17）的两个解,则
也是方程（7-17）的解，其中 、 是任意常数.
解法对于一阶微分方程（7-3）
①判断方程类型
将方程（7-3）整理化简判断其类型，如果是齐次方程再化为（7-5）的形式.
②化齐次方程为可分离变量的微分方程
令 ，则 ，代入方程（7-5），得
，即 .（7-6）
③方程（7-6）是一个可分离变量的微分方程,解方程（7-6）得原方程的通解.
*（3）可化为齐次的方程