一、请给出一个集合A，并给出A上既具有对称性，又具有反对称性的关系。
（10分）解：A={1,2} R={（1,1），（2,2）}
二、请给出一个集合A，并给出A上既不具有对称性，又不具有反对称性的关系。
（10分）集合A={1,2,3}
A上关系{<1,2>,<2,1>,<1,3>}，既不具有对称性，又不具有反对称性
三、设A={1，2}，请给出A上的所有关系。
（10分）
答：A上的所有关系:
空关系，{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
{<1,1>}
{<1,2>}
{<2,1>}
{<2,2>}
{<1,1>,<1,2>}
{<1,1>,<2,1>}
{<1,1>,<2,2>}
{<1,2>,<2,1>}
{<1,2>,<2,2>}
{<2,1>,<2,2>}
{<1,1>,<1,2>,<2,1>}
{<1,1>,<1,2>,<2,2>}
{<1,2>,<2,1>,<2,2>}
{<1,1>,<2,1>,<2,2>}
四、设A={1，2，3}，问A 上一共有多少个不同的关系。
（10分）
设A={1，2，3}，A 上一共有2^(3^2)=2^9=512个不同的关系。
五、证明： 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。
（10分）
证明：设公式G 的合取范式为：G ’=G1∧G2∧…∧Gn
若公式G 恒真，则G ’恒真，即子句Gi ；i=1,2,…n 恒真 为其充要条件。
Gi 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在Gi 中，也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ，Gi 都取1值。
若不然，假设Gi 恒真，但每个原子和其否定都不同时出现在Gi 中。
则可以给定一个解释I ，使带否定号的原子为1，不带否定号的原子为0，那么Gi 在解释I 下的取值为0。
这与Gi 恒真矛盾。
因此，公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。
六、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。
证明：n ≤2m C ，其中2m C 表
示m 中取2的组合数。
（10分）
证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2。
因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G)
的元数n ≤C m 2 ，其中C m 2 表示m 中取2的组合数。
七、设G 是有限图，P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。
δ，∆分别是G 中点的最小度和最大度。
证明：δ≤2n/m ≤∆。
（10分）
证明：因为 m δ≤∑∈)(P v G (v)d G ≤m ∆
同时由定理1知∑∈)
(P v G (v)d G =2n
则有 m δ≤2n ≤m ∆ 由m>0有：δ≤2n/m ≤∆
八、设G=(P ，L)是有限图，P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。
证明：如果n>
，则G 是
连通的。
（10分） 证明：反证法，假设此时G 不是连通的，则将G 中的一个连通分支作为一个子图记为G1，剩余的部分记为G2。
可设P(G1)的元数为m1，P(G2) 的元数为m2，其中1≤m1，m2<m ，m1+m2=m 。
则： n ≤2221m m C C += m1(m1-1)/2+ m2(m2-1)/2
=1/2(m12+m22- m1- m2)
=1/2(m12+(m-m1)2- m)
=1/2(m2-m-2mm1+2m12)
=1/2(m2-m-2m1(m-m1))
=1/2(m2-m-2m1m2)
由于(m1-1) (m2-1) ≥0所以有：
m1 m2- (m1+m2)+1≥0 即m1 m2≥m-1
则有：n ≤1/2(m2-m-2m1m2)
≤1/2(m2-m-2(m-1))
=1/2(m2-3m+2)
=1/2(m-1)(m-2)
=21-m C
显然这与已知n>C m-12矛盾，命题得证。
九、设G为图（可能无限），无回路，但若任意外加一边于G后就形成一回路，试证G必为
树。
（10分）
证明：从树的定义出发，
1）由已知有G中无回路
2）要证G连通，反证法，假设G不连通，则一定存在点u和v，满足在G中没有从u到v的路，现在连接u、v，即在G中添加一条边uv，由已知G中加一条边后形成一回路可知，G中u、v两点间有一回路，即若G中删除边uv后，点u、v仍然连通，矛盾。
所以G连通。
因此，G必为树
十、证明：一个有限连通图G是一条非回路的简单路，当且仅当G中有两个点的度为1，且
其余点的度均为2。
（10分）
证明：必要性，设P(G)的元数为n，k=3时显然成立。
假设k=n-1
时，G中有两个点的度为1，且其余点的度均为2。
则当k=n时，设v1是路G的起点v2是与v1相邻的另一点，把点v1及边v1v2从G 中删去得G'。
显然G'仍是非回路的简单路且有n-1个节点，有归纳假设知G'中有两个点的度为1，且其余点的度均为2。
把点v1及边v1v2加入到G'中得G，显然G中有两个点的度为1，且其余点的度均为2，归纳法完成。
充分性，k=3时显然成立，假设k=n-1时，G是一条非回路的简单路。
则当k=n时，设v1是路G中度为1的一点，v2是与v1相邻的另一点，把点v1及边v1v2从G中删去得G'，此时v2的度必为1（若为0则与G是连通图矛盾；若为2则在G中v2的度为3，矛盾），有假设知G'是一条非回路的简单路。
把点v1及边v1v2加入到G'中得G显然仍成立，归纳法完成。