13. 如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE. 求证：∠3＝∠1＋∠2.5. 一块三角形玻璃样板不慎被小强同学碰破，成了四片完整的碎片(如图所示)，聪明的小强经过仔细的考虑认为只要带其中的两块碎片去玻璃店就可以让师傅画一块与以前一样的玻璃样板．下列四个答案中考虑最全面的是( )A．带其中的任意两块去都可以B．带1、2 或2、3 去就可以了C．带1、4 或3、4 去就可以了D．带1、4 或2、4 或3、4 去均可16. 将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB ＝90°，∠A＝∠D＝30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC所在直线于点 F.(1)求证：AF＋EF＝DE；(2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角α，且 0°<α<60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在(1)中猜想的结论是否仍然成立；(3)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图③.你认为(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程：若不成立，请写出 AF，EF与 DE之间的关系，并说明理由．板块一、三角形全等的判定与应用在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于O再连结AO、BC，若1=2，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．【巩固】如图所示，AB = AD，BC = DC，E、F在AC上，AC与BD相交于P．图中有几对全等三角形？请一一找出来，并简述全等的理由．板块二、三角形全等的判定与应用（2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试）如图，AC∥DE，BC∥EF，AC = DE．求证：AF =BD．C（2008年宜宾市）已知：如图，AD = BC，AC = BD，求证：C = D．巩固】如图，AC、BD相交于O点，且AC = BD，AB = CD，求证：OA = OD（哈尔滨市2008 年初中升学考试）已知：如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB = DC，BE =CF，B= C．求证：OA = OD．已知，如图，AB=AC，CE⊥AB，BF⊥AC，求证：BF =CEE、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点，且BE = CF．求证：AE⊥BF．巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点，GE⊥EF，GE = EF．求证：BG+ CF = BC在凸五边形中，B = E，C = D，BC = DE，M为CD中点．求证：AM⊥CD如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN = 60，射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?【巩固】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN⊥DM且与∠ABC外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？D C已知：如图，ABCD 是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE. 如图所示，ABC 是边长为1的正三角形，BDC 是顶角为120o 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60o 的MDN ，点M 、 N 分别在AB 、 AC 上，求AMN 的周长．五边形 ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD 平分∠CDE如图，AD ⊥AB ，CB ⊥AB ， DM=CM=a ，AD=h ，CB=k ， ∠AMD=75°，∠BMC=45°，则 AB 的长 k+hC. 2D. hCA板块四、与角平分线有关的全等问题 如图，已知ABC 的周长是21 ，OB ， OC 分别平分ABC 和ACB ，OD ⊥ BC 于D ，且OD = 3 ，求 ABC 的面积．在ABC 中， D 为BC 边上的点，已知BAD = CAD ， BD = CD ，求证： AB = AC 已知ABC 中，AB = AC ，BE 、CD 分别是ABC 及ACB 平分线．求证：CD =BE ． 已知ABC 中，A = 60o ，BD 、CE 分别平分ABC 和ACB ，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．E如图，已知E 是AC 上的一点，又1 =2 ，3 =4 ．求证： ED = EB ．（“希望杯”竞赛试题）长方形 ABCD 中，AB=4，BC=7，∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ，EF ⊥ED 交 AB 于 F ，则 EF= ___________ ．【巩固】如图，在ABC 中， AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点， EF ∥ AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG = CF ，求证： AD 为BAC 的角平分线． AB - AC PB -PC 如图所示，已知ABC 中， AD 平分BAC ， E 、 F 分别在BD 、 AD 上．DE =CD ，EF =AC ．求证： EF ∥ AB巩固】在ABC 中， AB AC ， AD 是 BAC 的 平 分 线 ． P 是 AD 上 任 意 一 点 ． 求 证 ：D BD C如图，在ABC中，B = 2C，BAC的平分线AD交BC与D．求证：AB + BD = AC如图所示，在ABC中，AC AB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的MF =1(AC-AB)延长线于F，求证2．【巩固】如图所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CD⊥AD于D，E是BC的中点，求证DE=12(AB+AC)．DE∥AB且巩固】如图所示，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CM⊥AD于M，求证AB+AC=2AM如图，ABC中，AB=AC，BD、CE分别为两底角的外角平分线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：AD= AE．【巩固】已知：AD 和BE 分别是△ABC 的∠CAB 和∠CBA 的外角平分线，CD ⊥AD ，CE ⊥BE ，求DE = 1(AB + BC +CA )证：⑴ DE ∥AB ；⑵ 2 ．在ABC 中，MB 、 NC 分别是三角形的外角ABE 、 ACF 的角平分线， AM ⊥BM ，AN ⊥CN 垂巩固】在ABC 中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC 、ACB 的角平分线，AM ⊥ BM ，AN ⊥ CN巩固】(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD 中， AC 平分BAD ，过C 作CE ⊥ AB 于E ， AE = 1(AB + AD )并且 2 ，则ABC + ADC 等于多少？如图， A + D =180， BE 平分ABC ， CE 平分BCD ，点E 在AD 上 探讨线段 AB 、 CD 和BC 之间的等量关系．足分别是M 、 N ．求证： MN ∥BC ，MN = 1(AB + AC +BC )垂足分别是M 、 N ．求证： MN ∥BC ，MN = 1(AB + AC -BC )B探讨线段BE 与CE 之间的位置关系．版块一、倍长中线AM 1(AB +AC ) 已知： ABC 中， AM 是中线．求证： 2【巩固】(2002年通化市中考题)在ABC 中，AB = 5, AC = 9 ，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是 什么？ 如图， ABC 中， AB <AC ， AD 是中线．求证：DAC <DAB ． 如图，已知在ABC 中， AD 是BC 边上的中线， E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF =EF ， 已知△ABC ，∠B=∠C ，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ， 求证 GD=GE．求证： AC = BE DC已知AM 为ABC 的中线， AMB ， AMC 的平分线分别交 AB 于 E 、交AC 于 F ．求证： BE + CF EF在Rt ABC 中，A =90，点D 为BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、 AC 上的点，且ED ⊥ FD ．以 线段BE 、 EF 、 FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三巩固】如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，DM 垂直于DN ，如果BM 2+CN 2 =DM 2+DN 2，（ 2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组）在RtABC 中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、 CB 上，满足DFE =90 ．若AD =3 ， BE =4 ，则线段DE 的 长 度 为角形？AD C求证AD 2 = 14(AB 2 + AC 2)A版块二、中位线的应用AD是ABC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E．求证：如图所示，在ABC中，AB = AC，延长AB到D，使BD = AB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD = 2EC【巩固】已知△ABC 中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD=AB，CE为△ABC 的AB边上的中线．求证CD=2CE已知：ABCD是凸四边形，且AC<BD．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC 和BD 交于G 点．求证：∠GMN>∠GNM．DF CAC = BC在ABC中，ACB=90， 2 ，以BC为底作等腰直角BCD，E是CD的中点，求证：AE⊥EB且AE = BE．如图，在五边形ABCDE中，ABC = AED = 90，BAC = EAD，F为CD的中点．求证：BF = EF（“祖冲之杯”数学竞赛试题，中国国家集训队试题）如图所示，P是ABC内的一点，PAC = PBC，过P作PM⊥AC于M，PL⊥BC于L，D为AB的中点，求证DM =DL．（全国数学联合竞赛试题）如图所示，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF．过E、F分别作直线CA、CB的垂线，相交于点P，设线段PA、PB的中点分别为M、N．求证：(1) DEM≌FDN；(2) PAE = PBFC习题1】如图，已知AC = BD ， AD ⊥ AC ，BC ⊥BD ，求证：AD =BC【习题 2】点 M ，N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动，BD=DC ，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求 证 MN=MB+NC ．AB =3AC ，BAC 的平分线交BC 于D ，过B 作BE ⊥ AD ， E 为垂足，求B 证： AD = DE ．习题4】如图，在ABC 中， AB + BD = AC ， BAC 的平分线AD 交BC 与D ．求证： B = 2C 习题 3】在△ABC 中， EFP ACAC ED C习题5】如图，在等腰ABC中，AB = AC，D是BC的中点，过A作AE⊥DE，AF⊥DF，且AE = AF．【习题6】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE = AC，延长BE交AC于F，AF与EF相等吗？为什么？习题7】如右下图，在ABC 中，若B=2C，AD⊥BC，E为BC边的中点．求证：AB=2DE．求证：EDB =FDC。