数学：2.2.1《综合法和分析法》教案
教学目标：
＜一）知识与技能：
结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法 和综合 法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

＜二）过程与方法：
培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；
＜三）情感、态度与价值观：
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

第一课时221 综合法和分析法＜一）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方
法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特 点.tFAx82mkCG 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程 .
教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择 适当的证明方法.
教学过程：
一、 复习准备：
1. 已知“若三I ,且耳，则回”，试请此结论推广 猜想.
＜答案：若 ，且 ，贝S ㈢ I 回） 2. 已知 ， ，求证：
先完成证明 -讨论：证明过程有什么特点？
二、 讲授新课：
1. 教学例题：
① 出示例1:已知a, b, c 是不全相等的正数，求证：a （b2 + c2＞ + b （c2 + a2＞ + c （a2 + b2＞ ＞ 6abc.tFAx82mkCG
分析：运用什么知识来解决？ ＜基本不等式）
—板演证明过 程 ＜ 注意等号的处理）
-讨论：证明形式的特点
② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经
过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立
.tFAx82mkCG 导果.
c 是全不相等的正实数，求证 ④出示例2:在厶ABC
中，三个内角 A B C 的对边分别为a 、b 、 c ,且A 、
B 、
C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列.求证：ABC 等
边三角形.tFAx82mkCG
框图表示:
要点：顺推证法；由因
③练习：已知
分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边
角关系？
f板演证明过程f讨论：证明过程的特点.
-小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件＜内角和）
2. 练习：
①回为锐角，且■■，求证：. ＜提
示：算二^ ）
②已知|㈢求证：| 乂|
3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论三| , 直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.tFAx82mkCG
三、巩固练习：
1. 求证：对于任意角0, ■. ＜教材P100练习1
题）
＜两人板演f 订正f 小结：运用三角公式进行三角变换、思
维过程）
2. I上J的三个内角㈢|成等差数列，求证：I x7"! .
3. 作业：教材P102 A组2、3题.
第二课时2.2.1 综合法和分析法＜二）
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方
法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特
点.tFAx82mkCG
教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：基本不等式的形式？
2. 讨论：如何证明基本不等式I = I .
＜讨论f板演f分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）
二、讲授新课：
1. 教学例题：
①出示例1:求证I * I .
讨论：能用综合法证明吗？ T 如何从结论出发，寻找结论成立 的充分条件？
T 板演证明过程 ＜ 注意格式）
T 再讨论：能用综合法证明吗？ T 比较：两种证法
② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条
件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件
＜已 知条件、定理、定义、公理等）为止.tFAx82mkCG
索因. ③ 练习：设x ＞ 0 , y ＞ 0 ,证明不等式：
=I .
先讨论方法 T 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例2:见教材P97. 讨论：如何寻找证明思路？ ＜从结论出 发，逐步反推）
⑤ 出示例3:见教材P99. 讨论：如何寻找证明思路？ ＜从结论与
已知出发，逐步探求）
2. 练
习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面 ＜指 横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管 流量大.tFAx82mkCG
提示：设截面周长为I ，则周长为I 的圆的半径为因，截面积为 ,冈，周长为I 的正方形边长为I ，截面积为回，问题只需证：
_ .tFAx82mkCG
3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要
的已知上j ，直到所有的已知P 都成立；
比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法 进行书
写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需 知”（分析 ＞，从“已知”推“可知” ＜综合），双管齐下，两面夹 击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的 途径. ＜ 框图示意）
tFAx82mkCG 三、巩固练习:
1. 设a, b, c 是的△ ABC 三边，S 是三角形的面积，求证:
略证：正弦、余弦定理代入得： ■ ,
即证：| 厂—，即：|
,即证： KI ＜ 成立）.
2. 作业：教材P100练习2、3题.
要点：逆推证法；执果
框图表示:
第三课时222 反证法
教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方 法一一反证法；了解反证法的思考过程、特点.
教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程 .
教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法 .
教学过程：
一、 复习准备：
1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2枚，你能使三枚反面都 朝上吗？ ＜原因：偶次）
2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样 一个命题：“过在同一 直线上的三点A 、B C 不能作圆” 明这个命题？ tFAx82mkCG
3. 给出证法：先假设可以作一个OO 三占
- 4 八、、’
则0在AB 的中垂线I 上， 垂线m 上，
即0是I 与m 的交点。

但T A 、B 、C 共线，二I // m （矛盾＞ 二过在同一直线上的三点
A B 、C 不能作圆.
二、 讲授新课：
1. 教学反证法概念及步骤：
① 练习：仿照以上方法，证明：如果 a ＞b ＞0,那么
② 提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最 后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成 立.tFAx82mkCG
证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 -从假设出发，经推
理论证得到矛盾-矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论 成立
tFAx82mkCG
应用关键：在正确的推理下得出矛盾 ＜与已知条件矛盾，或与假设 矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）
方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明 的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否 命题的正确，从而肯定原命题真实.tFAx82mkCG
注：结合准备题分析以上知识.
2. 教学例题：
①出示例1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分 .
分析：如何否定结论？ —如何从假设出发进行推理？ —得 到怎样的矛盾？
.讨论如何证
过 A 、B 、C
0又在BC 的中
与教材不同的证法：反设AB CD被P平分，TP不是圆心，连结op 则由垂径定理：OPAB, OPCD则过P有两条直线与OP垂直＜矛盾），二不被P平分.
②出示例2 :求证冋是无理数. ＜同上分析T板演证明，提示：有理数可表示为匕）
证：假设m是有理数，则不妨设＜m,n为互质正整数），
从而：三I , |上J ,可见m是3的倍数.
设m=3pvp是正整数），贝卩r^~l ，可见n也是3的倍数.
这样，m, n就不是互质的正整数＜矛盾）.二不可能，
二|叵是无理数.
③练习：如果|二|为无理数，求证是无理数.
提示：假设•为有理数，则创可表示为|旦v®为整数），即凹.
由1 ■，贝贝创也是有理数，这与已知矛盾.二|纠是无
理数.
3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确.注意证明步骤和适应范围＜“至多”、
“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问
题）tFAx82mkCG
三、巩固练习：1.练习：教材P102 1、2题2. 作业：教材P102 A 组4 题.
申明：
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途。