4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作:x * = [x1* , x2* , x3* , . . . , x n *]T使该设计点的目标函数F (x*)为最小，点x*称为最优点(极小点)。
相应的目标函数值F (x*) 称为最优值(极小值)。
一个优化问题的最优解包着最优点(极小点)和最优值(极小值) 。
把最优点和最优值的总和通称为最优解。
或：优化设计就是求解n个设计变量在满足约束条件下使目标函数达到最小值，即min f(x)=f(x*) x €R ns.t. g u (x)w 0,u= 1,2,... ,m；h v (x) = 0,v= 1,2,... ,p<n称x*为最优解，f(x*)为最优值。
最优点x*和最优值f(x*)即构成了最优解2 .共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。
.对于二次函数，f X =gx T GX b T X - c,从X k点出发，沿G的某一共轭方向d k作一维搜索，到达X k 1点，则X k 1点处的搜索方向d j应满足d j丁g kd -g k =0,即终点X k1与始点X k的梯度之差g k ^g k与d k 的共轭方向d j正交。
8数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。
数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它不是分析方法，而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。
(5分)其迭代法计算的基本格式是：从一点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k)和适当的步长a (k)，从而到一个新点，即：X(k+1) = x(k) + a (k)S(k) k=0,1,2,3 ..........：2 二a (b-a) =0.2 0.618 1-0.2 =0.6944式中：x(k)――前一步取得的设计方案 (迭代点)。
在开始计算时，即为迭代的初始点 x(0);X(k+1)――新的修改设计方案(新的迭代点)；S(k)――第k 次迭代计算的搜索方向(可以看作本次修改设计的定向移动方向)；a (k)――第k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。
计算题1 .试用牛顿法求f X =8x ,2 5x 22的最优解，设X 0 - 110 10 T 。
初始点为 x^=ho io T ，则初始点处的函数值和梯度分别为f X 0 i=1700 if x 0 二：0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件f X 1 二 min f X 0 " 'f X 0 丨a二minot8 10 -200： 0 24 10 -200： 0 10-140： 05 10 -140： 02匚：0 1=1060000： 0 -59600=0,110-200： ° -1.2452830x = | i=[10-148。
一 [2.1283019_f X 1 = 24.4528302，从而完成第一次迭代。
按上面的过程依次进行下去，便可求得最 优解。
202、试用黄金分割法求函数 f的极小点和极小值，设搜索区间raa,bl - 0.2,11 (迭代一次即可)解：显然此时，搜索区间 〔a,bl-〔0.2,11，首先插入两点：-1和- 2，由式：1 =b- (b-a) =1 -0.618 1 -0.2 =0.505616X 1 4X 2_ 200， 4% 10x 2|口40X 1川亠f X 。
= 10 _：0黑2OO_：i 0140『10-140：0从而算出一维搜索最佳步长：596001060000= 0.0562264则第一次迭代设计点位置和函数值计算相应插入点的函数值f : 0-40.0626, f :• 2 1=29.4962。
因为f ： i f ： 2。
所以消去区间〔a,r 1,得到新的搜索区间 L ：m b 1, 即卜 “b l - la,bl - 0.5056,11。
第一次迭代： 插入点=0.6944，: 2 =0.5056 0.618(1 -0.5056) = 0.8111相应插入点的函数值 f :• j [=29.4962,f >2 1=25.4690，由于f ： 2，故消去所以消去区间la,〉」，得到新的搜索区间l ：-1,bl ， 则形成新的搜索区间'sb 】二a,bl- 0.6944,11。
至此完成第一次迭代，继续重复迭代 过程，最终可得到极小点。
3•用牛顿法求目标函数f X =16xf 25x |+5的极小点，设 X 0 "2f X 1 =5，从而经过一次迭代即求得极小点,f X =5, 204.下表是用黄金分割法求目标函数 f的极小值的计算过程，请完成下表。
ct21T 。
解：由 X ° -〔2 2 T:x 1；严治1=严[ 〔50X 2 _一-2、2f X 0二:x^x 2-2 r:f2x 2 32 0 IL 0 503201 50■1_ 二一2"1因此可得：X 1 =X° - W f (X 0 )1 V f (X 0)=b320164=I1 [100 一 [0 一50迭代序号 a«i 口2b y i比较y0.211迭代序号 a «1 «2b y 1比较 y 20 0.2 0.5056 0.6944 1 40.0626 > 29.4962 10.50560.69440.8111129.4962>25.46905、求二元函数f （x I ,X 2）=X I 2+X 22-4X I -2X 2+5在x o =[O0]T 处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P 表示函数变化 率最大和数值是梯度的模III f （X ）） II 。
求f （x 1 ,X 2）在x 0点处的梯度方向和数值, 计算如下:iNf(x o )II=x '(~)2 *(_f )2 = V)2 +(-2)2 =2J5Y cx 1cx 2在X I -X 2平面上画出函数等值线和 X o （ 0,0）点处的梯度方向 P ,如图2-1所示。
从图中可以看出，在X o 点函数变化率最大的方向P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。
\ f (X O ) =：X 1汗L 严 | [2X 2「x 2 x oP 」(X o )F f(X o )|「4〕2I 5K V5丄V5 一解：取初始点x0= i i r2xi -2x2 4 4' 4x2 — 2x i *' 2取d°=-g o=>2沿d0方向进行一维搜索，得其中的：-0为最佳步长，可通过 f (x1)=min「1(：J「1C0)=0a1-：：0 =4x1再沿d 1进行一维搜索，得6、用共轭梯度法求二次函数_2 1_21 + «13'.2 一1一22 1x = x + -：»d1 =2 2】_2 2g。
」、f (x0)d。
= —]-2一—〔1-2叽求得为建立第二个共轭方向 d 1,需计算x1点处的梯度及系数'-0值，得从而求得第二个共轭方向g i= f(x1)2X i -2x? - =IL4x2 _ 2x1252一20d 1=-g1+ - 0d°= Si；闌1f (X2) = min ：2(：),「2(r)=°Ct3 =12 2宀1 3• - +一5.2 2 一计算x2点处的梯度说明X2点满足极值必要条件，再根据X2点的海赛矩阵是正定的，可知X2满足极值充分必要条件。
故X2为极小点，即而函数极小值为f(x*) = -8。
7、求约束优化问题2 2Minf(x)=(x i-2) +(X2-1)s.t. h(x)=x i+2x 2-2=0的最优解？解：该问题的约束最优解为X* = 1.6 0.2T, f(x*) =0.8。
由图4-1a可知，约束最优点x*为目标函数等值线与等式约束函数(直线)的切点。
用间接解法求解时，可取丄2=0.8，转换后的新目标函数为(x, ‘2)=(X1 -2)2(X2-1)2 0.8(X1 2x2-2)可以用解析法求min (x^l2)，即令=0，得到方程组2(捲-2) 0.8 = 0：X|丄2(x2T) 1.6 =0 :x22g2= I f ( X)2x^1「2x2「4]4x2 -2x i _x2 =0G ( X2)=-2-214其中的:1为最佳步长，通过求得一〕_211+a1312■则X2=解此方程组，求得的无约束最优解为: x^ 1.6 0.2T, (x*r l2^0.8其结果和原约束最优解相同。
图4-1b表示出最优点X为新目标函数等值线族的中心。