第十二专题讲座-----积分中值定理及定积分极限题型2009
智 轩
一、完整的积分中值定理包含下列全部内容
1．函数平均值 []()1b
a M f f x dx
b a
=-⎰ 2．第一中值定理
()1如果函数在积分区间[],a b 上连续，则()()()b
a a
b f x dx f b a ξξ∃≤≤⇒=-⎰。

（教材上的描述） ()2如果函数
()(), f x x ϕ在积分区间[]
,a b 上连续，且当a x b <<时，()x ϕ不变号，则
则()()()()b b
a
a
a b f x x dx f x dx ξ
ϕξϕ∃≤≤⇒=⎰⎰。

3． 第二中值定理（★超纲内容，仅仅作为理解用）
()1若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调，则
()()()()()()00b
b
a
a
f x x dx a a f x dx b f d b x x ξξ
ϕξϕϕ∃≤-≤=++⇒⎰⎰⎰。

()2若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，
当且当a x b <<时，()x ϕ单调递减（广义上），且为非负数，则
()()()()0b a
a
a b f x x dx a f x dx ξ
ξϕϕ∃≤≤⇒=+⎰⎰。

()3若函数()(), f x x ϕ在积分区间[],a b 上有界并可积，当且当a x b <<时，()x ϕ单调递增（广义上）
，且为非负数，则
()()()()0b b
a
a b f x x dx b f x dx ξ
ξϕϕ∃≤≤⇒=-⎰⎰。

二、与积分有关的求极限问题
【例1】求极限1
10lim 1n
n x I dx x
→∞=+⎰ 解：
110011010100111
lim 0
1n n n
n n n x x x x dx x dx x x n x
I dx x
→∞≤≤⇒≤≤⇒≤≤=
+++⇒==+⎰⎰⎰ 【例2】求极限2
20
lim sin n n I xdx π
→∞=⎰
解：
对任意给定的0ε>，且设2
πε<
，则
22
20
220
0sin sin sin 22sin 1lim sin 0
2220, sin 220sin 2lim sin 0
n
n
n n n n n n n xdx xdx N n N xdx I xdx π
π
ε
π
π
ππεεεεπππεεεππεεε
ε
-→∞
→∞
⎛⎫⎛⎫≤≤+≤--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<⇒--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⇔∃>>--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⇒≤≤⇒==⎰⎰
⎰⎰当时， 有
【例3】求极限()3sin lim 0n p
n
n x
I dx p x
+→∞=>⎰ 解：当n x n p ≤≤+，有
3sin 1
sin sin lim 0n p
n p n
n n x x p
x dx I dx x n
x n x
++→∞≤⇒≤⇒==⎰
⎰
【例4】求极限1
4200lim 1
dx
I x εε→+=+⎰ 解：
(
)
(
)
)
11
42
2
00
00
1
00
lim lim
11
1arctan
lim arctan|lim1
d
dx
I
x
εε
εε
ε
→+→+
→+→+
==
++
===
⎰⎰
【例5】求极限
()
5
lim b
a
f x
I dx
x
ε
ε
ε→+
=⎰，已知()[]
0,1, 0, 0
f x C a b
∈>>。

解：应用第一中值定理
()
()()
()
()()
5
00
ln
lim lim ln0ln
b b
a a
b
a
f x dx b
a b dx f f
x x a
f x b b
I dx f f
x a a
εε
εε
ε
ε
εε
εξεξξ
ξ
→+→+
∃≤≤⇒==
===
⎰⎰
⎰
【例6
已知()[)
0,
f x∈+∞和()
lim
x
f x A
→+∞
=，求证()
1
lim x
x
f x dx A
x
→+∞
=
⎰。

证明：分三种情况
()10
A>
()()
()()()()()()
()
()
()
0000
lim0,
2
22 lim
1
lim lim
1
x
x R x R x R
R R
x
x
x
x x
A
f x A R x R f x
A A
f x dx f x dx f x dx f x dx dx f x dx x R
f x dx
f x
f x dx A
x
→∞
→+∞
→+∞→+∞
=⇒∃>>>
⇒=+>+=+-
⇒=+∞
⇒==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
当时，
()20
A<
()()()()()()()()()()()0
00
0lim 0, 2
22
lim
1lim lim 1
x x
R
x
R
x R R
R
x
x x
x x A f x A R x R f x A A
f x dx f x dx f x dx f x dx dx f x dx x R f x dx f x f x dx A x →+∞
→+∞→+∞→+∞=⇒∃>>>
⇒=+>+=+-⇒=-∞
⇒==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰当时，
()3
0A =
()()()()()()()()00000,lim lim 0
1lim 111lim lim 0x x x
x x x x x x B g x f x B g x f x B B g x dx B x
f x dx
g x dx Bdx B B A x x →+∞
→∞
→+∞→+∞→+∞>=+⇒=+=>⎡⎤⎣⎦⇒=⎡⎤⎣⎦⎡⎤⇒=-=-==⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰任选并设 的结论
所以 ()()01lim lim x
x x f x dx f x A x →+∞→+∞
==⎰
【例7】宽型罗毕达法则举例 求601lim arctan x
x I xdx x
→+∞=⎰ 解：
601lim arctan lim arctan 2
x x x I xdx x x π
→+∞→+∞===
⎰。