普通高等教育“十一五”国家级规划教材随机数学（C）标准化作业吉林大学公共数学中心2013.2第一次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1． 10个人编号1，2，…，10且随意围一圆桌坐下，则有某一对持相邻号码的两个人正好座位相邻的概率是 ．2．已知事件A 和B 满足()()P AB P AB =，且()0.4P A =，则()P B = ． 3．已知1()4P A =,1(|)3P B A =,1(|)2P A B =，则()P A B = ．4. 在区间（0,1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65”的概率为 .5．两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率是19，且A 发生B 不发生和A 不发生B发生的概率相等，则()P A = ．6．在4重伯努利试验中，已知事件A 至少出现一次的概率为0.5，则在一次试验中A 出现的概率为 ．二、选择题1．下列等式不成立的是（ ） （A ）A AB AB = ． （B ）A B AB -=． （C ）()()AB AB Φ=．（D ）()A B B A -= ．2. 设,,A B C 是同一个实验的三个事件，则事件()()()A B A B A B U U U 可化简为（ ） （A ）A B U ．（B ）A B -． （C ）AB ．（D ）Φ．3．已知事件A 和B 满足()0P AB =，则（ ） （A ）A 和B 相互独立． （B ）AB Φ=．（C ）AB 未必为Φ．（D ）()0P A =或()0P B =．4.在10件产品中有2件次品,依次取出2件产品,每次取一件,取后不放回,则第二次取到次品的概率为( )（A ）145． （B ）845. （C ）15． （D ）1645．5．设有4张卡片分别标以数字1，2，3，4，今任取一张；设事件A 为取到1或2，事件B 为取到1或3，则事件A 与B 是（ ）（A ）互不相容．（B ）互为对立．（C ）相互独立． （D ）互相包含．6. 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，则重复进行试验直到第n 次才取得成功的概率为（ ）（A ）1(1)n p p --. （B ）1(1)n np p --. （C ）1(1)(1)n n p p ---. （D ）1(1)n p --. 三、计算题1．将n 只球随机地放入N ()n N ≤个盒子中，设每个盒子都可以容纳n 只球，求：（1）每个盒子最多有一只球的概率1p ；（2）恰有()m m n ≤只球放入某一个指定的盒子中的概率2p ；（3）n 只球全部都放入某一个盒子中的概率3p ．2．三个人独立地去破译一份密码，已知每个人能译出的概率分别为111,,534，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？3．随机地向半圆)0(202>-<<a x ax y 内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x 轴夹角小于4π的概率.4．仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求：（1）仪器发生故障的概率；（2）仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率.5．在100件产品中有10件次品；现在进行5次放回抽样检查，每次随机地抽取一件产品，求下列事件的概率：（1）抽到2件次品；（2）至少抽到1件次品．四、证明题1．设0()1,0()1,(|)(|)1P A P B P A B P A B<<<<+=，证明事件A与B相互独立．2．设事件A的概率()0P A=，证明A与任意事件都相互独立．第二次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．一实习生用一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格产品的概率为()11,2,31i p i i ==+，X 表示3个零件中合格的个数，则{2}P X == ．2.设随机变量X 的分布函数为0,1,0.4,11,()0.8,13,1,3.x x F x x x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩则X 的分布律为 ．3．设随机变量X 的概率密度为2,01,()0,x x f x <<⎧=⎨⎩其它,用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件12X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭出现的次数，则{2}P Y == ．4．设随机变量,X Y 服从同一分布，X 的概率密度函数为23,02,()80,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它, 设{}A X a =>与{}B Y a =>相互独立，且3{}4P A B =，则a = ． 5．设随机变量X 服从二项分布(2,)B p ，随机变量Y 服从二项分布(3,)B p ，若5{1}9P X ≥=，则{1}P Y ≥= ．6. 设随机变量X 服从2(2,)N σ，且{}240.3P X <<=,则{}0P X <= ．7. 标准正态分布函数()1.96Φ= ． 二、选择题（A ） 1350.50.30.3⎛⎫ ⎪⎝⎭. （B ） 1230.70.10.1⎛⎫ ⎪⎝⎭. （C ） 20121111111()()()2232323nn ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L . （D ） 231231111()()()2222nn ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭L L L L . 2. 设()sin f x x =，要使()sin f x x =能为某随机变量X 的概率密度，则X 的可能取值的区间是（ ）（A ）3[,]2ππ. （B ）3[,2]2ππ. （C ）[0,]π. （D ）1[0,]2π.3．设1()F x 和2()F x 分别为随机变量1X 和2X 的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ）（A ）32,55a b ==-．（B ）22,33a b ==-．（C ）12,23a b ==．（D ）13,22a b ==-．4．已知连续型随机变量X 的分布函数为0,0,(),0,1,,x F x kx b x x ππ<⎧⎪=+≤<⎨⎪≥⎩则参数 k 和b 分别为（ ）（A ）10,k b π==． （B ）1,0k b π==．（C ）1,02k b π==．（D ）10,2k b π==． 5．设随机变量X 的概率密度函数为34,01,()0,,x x f x ⎧<<=⎨⎩其它 则使{}{}P X a P X a >=<成立的常数a =（ ）（A（B ）12．（C）1． （D．6. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，且{}112P X ≥=，(1)1,f =则（ ）（A ）21,1μσ==. （B ） 21,μσ==（C ）211,2μσπ==. （D ） 20,1μσ==. 7．设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则随着2σ的增大，概率{||0}P X μ-<（ ） （A ）单调增大． （B ）单调减少． （C ）保持不变．（D ）增减性不定．三、计算题1．一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取得正品为止．用X 表示取到的次品个数，写出X 的分布律和分布函数．2．设随机变量X 的概率分布为（1）求2Y X =-的概率分布；（2）求Z X =的概率分布．,01,()(2),12,0,,x x f x k x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求：（1）k 的值；（2）X 的分布函数．4．设随机变量X 服从正态分布(3,4)N ，求：{23},{||2}P X P X <<>，{||3}P X <．0,,()arcsin ,,(0)1,,x a x F x A B a x a a a x a ≤-⎧⎪⎪=+-<<>⎨⎪≥⎪⎩求：（1）常数A 、B ．（2）随机变量X 落在,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内的概率．（3）X 的概率密度函数．6．已知随机变量X 的概率密度为,0<1,()0,ax b x f x +<⎧=⎨⎩其 他,且15,28P X ⎧⎫>=⎨⎬⎩⎭求（1）常数,a b 的值；（2）11.42P X ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭7．已知随机变量X 的概率密度为1()e ,,2xX f x x -=-∞<<+∞又设1,0,1,0,X Y X +>⎧=⎨-≤⎩求：（1）Y 的分布律；（2）计算12P Y ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭.8．已知随机变量X 的概率密度为e ,0,()0,0,x x f x x -⎧>=⎨≤⎩ 求：随机变量2Y X =的概率密度函数．四、证明题1. 设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，证明：(0)Y aX b a =+≠仍然服从正态分布，并指出参数.2. 设随机变量X 服从参数为2λ=的指数分布，证明：21e X Y -=-服从[0,1]上的均匀分布．第三次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设随机变量X 与Y 相互独立，具有相同的分布律，则max{,}X Y 的分布律为 ．2. 设随机变量（X,Y ）的联合分布律为{}11,,,,1,2,20,,m m n P X m Y n m n m n +⎧≥⎪====⎨⎪<⎩L ，则关于X 的边缘分布律为{}P X m ==，关于Y 的边缘分布律为{}P Y n ==.3．设有二维连续型随机变量（X,Y ），则()P X Y == .4．设随机变量X 和Y 相互独立，X 在区间(0,2)上服从均匀分布，Y 服从参数为1λ=的指数分布，则概率{1}P X Y +>= ．5．若二维随机变量(,)X Y 在区域222{(,)|}x y x y R +≤上服从均匀分布，则(,)X Y 的概率密度函数为 ．6. 设随机变量(,)~(0,1,2,3,0)X Y N ，则212μσ+= .7. 设随机变量12,,(1)n X X X n >L 相互独立，并且服从相同的分布，分布函数为()F x ，记随机变量12max(,,,)n X X X X =L ，则X 的分布函数()X F x = ．二、选择题1. 关于随机事件{},X a Y b ≤≤与{},X a Y b >>下列结论正确的是（ ） （A ）为对立事件. （B ）为互斥事件.（C ）为相互独立事件. （D ）{},P X a Y b ≤≤>{},P X a Y b >>.2．设二维随机变量(,)X Y 在平面区域G 上服从均匀分布，其中G 是由x 轴，y 轴以及直线21y x =+所围成的三角形域，则(,)X Y 的关于X 的边缘概率密度为（ ）（A ）．182,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它.（B ）．184,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它.（C ）142,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它.（D ）144,0,()20,X x x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩其它. 3．设平面区域G 是由x 轴，y 轴以及直线12yx +=所围成的三角形域，二维随机变量(,)X Y 在G 上服从均匀分布，则|(|)X Y f x y =（ ）(02)y <<（A ）|2,01,22(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. （B ）|2,01,12(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. （C ）|1,01,22(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. （D ）|1,01,12(|)0,X Y y x yf x y ⎧<<-⎪-=⎨⎪⎩其它. 4．设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)arctan arctan 22y F x y A x B π⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭则常数A 和B 的值依次为（ ）（A ）22ππ和． （B ）14ππ和． （C ）212ππ和． （D ）12ππ和．5．设1X 和2X 是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为1()f x 和2()f x ，分布函数分别为1()F x 和2()F x ，则下列说法正确的是（ ）（A ）12()()f x f x +必为某一随机变量的概率密度． （B ）12()()f x f x 必为某一随机变量的概率密度． （C ）12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数． （D ）12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数．6．如果(,)X Y 是连续型随机变量，下列条件中不是X 与Y 相互独立的充分必要条件的是（ ），其中y x ,为任意实数.（A ）}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≥≥=≥≥. （B ）)()(),(y F x F y x F Y X =.（C ）)()(),(y f x f y x f Y X =.（D ）),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂.7. 设随机变量,X Y 相互独立，X 服从(0,1)N ,Y 服从(1,1)N ，则( ) （A ）(0)0.5P X Y +≤=. （B ）(1)0.5P X Y +≤=. （C ）(0)0.5P X Y -≤=. （D ）(1)0.5P X Y -≤=. 三、计算题1．设随机变量X 在1，2，3，4四个数字中等可能取值，随机变量Y 在1~X 中等可能地取一整数值，求(,)X Y 的概率分布，并判断X 和Y 是否独立．2. 设随机事件A 、B 满足11(),()(),42P A P B A P A B ===令1,0A X A ⎧=⎨⎩ 发生,，不发生, 1,0B Y B ⎧=⎨⎩发生,，不发生, 求（1）(,)X Y 的概率分布；（2）Z X Y =+的概率分布.3．已知随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,)N σ，求常数R ，使得概率}0.5P R =．4．已知二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)e ,0,0,(,)0,x y k x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它. （1）求系数k ；（2）条件概率密度()X Y f x y ；（3）判断X 和Y 是否相互独立；（4）计算概率{}21P X Y <<；（5）求min{,}Z X Y =的密度函数()Z f z .5. 设随机变量U 在区间[2,2]-上服从均匀分布，令11,11,U X U -≤-⎧=⎨>-⎩若若 11,11,U Y U -≤⎧=⎨>⎩若若求(,)X Y 的联合分布律.6．设(,)X Y 的概率密度1,01,02,(,)0,.x y x f x y <<<<⎧=⎨⎩其 它求2Z X Y =-的概率密度.第四次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设随机变量X 的分布律为则()E X = ，()E X = ，(35)E X += ．2．设随机变量X 和Y 相互独立，且21()D X σ=和22()D Y σ=都存在，则(23)D X Y -= ．3．设随机变量X 的概率密度为1cos ,0,()220,x x f x π⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3π的次数，则2()E Y = ． 4．设随机变量~(0,1),~(4)X N Y π，并且X 与Y 的相关系数为0.5，则有(32)D X Y -= ．5．对一批圆木的直径进行测量，设其服从[,]a b 上的均匀分布，则圆木截面面积的数学期望为 ．6．设随机变量X 在[1,2]-上服从均匀分布，设随机变量1,0,0,0,1,0,X Y X X >⎧⎪==⎨⎪-<⎩则()D Y = ．7．设X 服从[1,1]-上的均匀分布，则4()E X = ，3()D X = ． 二、选择题1. 对于随机变量X ，关于E (X )和2()E X 合适的值为（ ）2．设X 是一随机变量，且2(),()E X D X μσ==（,0μσ>为常数），则对于任意常数C ,必有（ ）（A ）222()()E X C E X C ⎡⎤-=-⎣⎦． （B ）22()()E X C E X μ⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦． （C ）22()()E X C E X μ⎡⎤⎡⎤-<-⎣⎦⎣⎦．（D ）22()()E X C E X μ⎡⎤⎡⎤-≥-⎣⎦⎣⎦．3．设()2D X =，则(32)D X -=（ ） （A ）16 ．（B ）18．（C ）20．（D ）8．4．对于以下各数字特征都存在的任意两个随机变量X 和Y ，如果()()()E XY E X E Y =，则有（ ）（A ）()()()D XY D X D Y =． （B ）()()()D X Y D X D Y +=+．（C ）X 和Y 相互独立．（D ）X 和Y 不相互独立．5．设2(),()0E X D X μσ==>，则为使()0,()1E a bX D a bX +=+=，则a 和b 分别是（ ）（A ）1,a b μσσ=-=． （B ）,a b μμσσ=-=． （C ）,a b μσ=-=．（D ）1,a b μσ==．6.若随机变量X 与Y 满足12XY =-，且()2D X =，则Cov(,)X Y =（ ） （A ）1．（B ）2． （C ）-1． （D ）-2．7. 已知二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则X 和Y 的相关系数0XY ρ=是X 和Y 相互独立的（ ）（A ）充分条件，但不是必要条件. （B ）必要条件，但不是充分条件. （C ）充分必要条件. （D ）既不是充分也不是必要条件. 三、计算题1．设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x <<⎧⎪=+≤<⎨⎪⎩其它.已知3()2,{13}E X P X =<<=，求,,a b c 的值．2．设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为1(),02,02,(,)80,,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其 它 求(),(),cov(,),XY E X E Y X Y ρ和()D X Y +．3．设二维离散型随机变量(,)X Y的联合概率分布为.（1）写出关于X、Y及XY的概率分布；（2）求X和Y的相关系数XY4．在数轴上的区间[0,]a内任意独立地选取两点M与N，求线段MN长度的数学期望．5．一民航送客车载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，假设每位旅客在各个车站下车的可能性相同，且各个旅客是否下车相互独立，求停车次数X 的数学期望．6．假设由自动流水线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品；销售合格品获利，销售不合格品亏损，已知销售一个零件的利润T （元）与零件内径X 的关系为1,10,20,1012,5,12,X T X X -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩．问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大．第五次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式，有{||6}P X Y -≥≤ ．2．在每次试验中，事件A 发生的可能性是0.5，则1000次独立试验中，事件A 发生的次数在400次到600次之间的概率≥ ．二、选择题1．一射击运动员在一次射击中的环数X 的概率分布如下：则在100（A ）0.8233．（B ）0.8230．（C ）0.8228．（D ）0.8234．2．设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，则根据列维—林德伯格中心极限定理，当n 定充分大时，12n X X X +++L 近似服从正态分布，只要(1,2,)i X i =L 满足条件（ ）（A ）具有相同的数学期望和方差． （B ）服从同一离散型分布． （C ）服从同一连续型分布．（D ）服从同一指数分布．三、计算题1．某保险公司多年的统计资料表明，在索赔客户中被盗索赔占20%，以X 表示在随机抽查的100个索赔客户中因被盗向保险公司索赔的户数.（1）写出X 的概率分布；（2）利用德莫佛—拉普拉斯定理，求被盗索赔客户不少14户且不多于30户的概率的近似值．2.设某种元件使用寿命（单位：小时）服从参数为λ的指数分布，其平均使用寿命为40小时，在使用中当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去.已知每个元件的进价为a元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有95%的把握保证一年够用（假定一年按照2000个工作小时计算）.3．一条生产线的产品成箱包装，每箱的重量时随机的.假设平均重50千克，标准差为5千克.如果用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每量车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977，（(2)0.97Φ=.）第六次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．已知从总体X 中抽取一组样本容量为(2)n n >的样本值12,,,n x x x L ，频数i n 表示样本值中有i n 个i x ，则样本均值x = ，样本方差2s = ，样本标准差s = ．2．设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，记随机变量221234(2)(34)X a X X b X X =-+-，则当a = ，b = 时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为 ．3．设总体12~(,),,,,n X B m p X X X L 是来自总体X 的样本，样本均值为X ，则()E X = ，()D X ＝ ．4．设~(,),1,2,,1i X N i n μσ2=+L ，是相互独立的，记221111,(),1n n n i n i n i i X X S X X n n ====--∑∑则~Y =．5．设总体X 的概率密度为e ,0,()0,0,x x f x x λλ-⎧≥=⎨<⎩12,,,n X X X L 是来自总体X 的样本，则12,,,n X X X L 的联合概率密度12(,,,)n f x x x =L ．二、选择题1．设总体12~(,),,,,n X N X X X μσ2L 是总体X 的样本，X 为样本均值，记()()2222121111,,1nni i i i S X XS X X n n ===-=--∑∑()()2222341111,,1n n i i i i S X S X n n μμ===-=--∑∑ 则下列随机变量中服从自由度为1n -的t 分布的是（ ）（A（B． （C． （D．2．设总体212~(,),,,n X N X X X μσL 是来自总体X 的简单随机样本，则0.025P u ⎧⎫⎪<=⎬⎪⎭（ ） （A ）0.025．（B ）0.975．（C ）0.95．（D ）0.05．3．设随机变量21~()(1),X t n n Y X >=，则（ ） （A ）2~()Y n χ． （B ）2~(1)Y n χ-． （C ）~(1,)Y F n ． （D ）~(,1)Y F n ． 4.设12(,,,)n X X X L 为总体2(1,2)N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ ）（A~()X t n . （B ）211(1)~(,1)4ni i X F n =-∑. （C~(0,1)X N . （D ）2211(1)~()4ni i X n χ=-∑.5．设~(10)X t ，若{(10) 1.8125}0.05P t >=，则0.95(10)t =（ ） （A ）-1.8125 ． （B ）1.8125． （C ）0.95． （D ）-0.95．三、计算题1．从正态总体N (20, 3) 中分别抽取容量为10和15的两个相互独立样本，求样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．2．设128,,,X X X L 是来自正态总体(0,0.2)N 的样本，试求k ，使{}8210.95i i P X k =<=∑．3．设12,,,n X X X L 是取自正态总体2~(,)X N μσ的一个样本，样本均值为X ，样本方差为2S ，22(),(),(),().E X D X E S D S4．设总体X 的概率密度为2cos2,0,()40,,x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它12,,,n X X X 为总体X 的样本，求样本容量n ，使1215{min(,,,)}1216n P X X X π<≥L ．5.已知二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(0,1,2,3,0)N ，判断2294(1)X F Y =-服从的概率分布.第七次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中0λ>为未知，12,,,n X X X 为来自总体X的样本，则λ的矩体计量为λ$＝ ． 2．设总体X 在区间[],2θ上服从均匀分布，2θ<为未知参数；从总体X 中抽取样本12,,,n X X X L ，则参数θ的矩估计量为θ$＝ ． 3．设总体12~(),,,,n X X X X πλL 是来自总体X 的样本，则未知参数λ的最大似然估计量为λ$． 4．该总体~(,1)X N μ，一组样本值为-2，1，3，-2，则参数μ的置信水平为0.95的置信区间为 ．5．设总体 2~(,3)X N μ，要使未知参数μ的置信水平为0.95的置信间的长度2L ≤，样本容量n 至少为 ．二、选择题1．设总体X 在区间[]0,2a 上服从均匀分布，其中0a >未知，则a 的无偏估计量为 （ ）（A ）µ1121123X X μ=+． （B ）¶2123111263X X X μ=++． （C ）¶3123111423X X X μ=++．（D ）¶4124121333X X X μ=++ 2．设12,,,n x x x L 为总体2~(,)X N μσ的样本观察值，则2σ的最大似然似计值为¶2σ=（ ）（A ）()211n i i x n μ=-∑．（B ）()11,1,2,nk i i x x k n =-=∑L ．（C ）()2111ni i x xn =--∑．（D ）()211ni i x xn =-∑．3．设总体2~(,)X N μσ，μ与2σ均未知，12,,,n X X X L 为总体X 的样本，则参数μ的（A ）22,X X αα⎛⎫- ⎪⎝⎭． （B ）22(),()X n X n αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（C ）22(1),(1)n n αα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． （D）22(),()X n X n αα⎛⎫- ⎪⎝⎭． 4．设总体2~(,)X N o μ，其中2o 已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1α-的关系是（ ）（A ）当1α-缩小时，L 缩短． （B ）当1α-缩小时，L 增大． （C ）当1α-缩小时，L 不变．（D ）以上说法都不对．三、计算题1．设总体X 具有概率分布其中()01θθ<<是未知参数，已知来自总体X 的样本值为1，2，1.求θ的矩估计值和最大似然估计值．2．设总体X 的分布函数为11(),1,(;)0,1.x F x xx ββ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩ 其中参数1β>是未知参数，又12,,,n X X X L 为来自总体X 的随机样本，（1）求X 的概率密度函数( ; )f x β；（2）求参数β的矩估计量；（3）求参数β的最大似然估计量.四、证明题1．设总体X 的均值()E X μ=及方差2()0D X σ=>都存在，μ与2σ均未知，12,,,n X X X L 是X 的样本，试证明不论总体X 服从什么分布，样本方差()22111ni i S X X n ==--∑都是总体方差2()D X σ=的无偏估计．2．设123,,X X X 是总体X 的样本，()E X μ=，2()D X σ=存在，证明估计量µ1123211366X X X μ=++, ¶2123111424X X X μ=++, ¶3123311555X X X μ=++ 都是总体X 的均值()E X 的无偏估计量；并判断哪一个估计量更有效．第八次作业院(系) 班级 学号 姓名一、填空题1．设总体212~(,),,,,n X N X X X μσL 是来自X 的样本，记()221111,n ni i i i X X Q X Xn n ====-∑∑，当μ和2σ未知时，则检验假设00:H μμ=所使用统计量是 ．2．在假设检验中，对于给定的显著性水平α，则范第一类错误的概率为 ．3．设总体2~(,)X N μσ，μ已知，给定显著性水平α，假设22220010:,:H H σσσσ=≥的拒绝域为 ．二、选择题1．在假设检验中，原假设0H ，备择假设1H ，则（ ）为犯第二类错误 （A ）0H 为真，接受1H ．（B ）0H 不真，接受0H ． （C ）0H 为真，拒绝1H ．（D ）．0H 不真，拒绝0H ．2．设总体221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，检验假设2222012112:,:,0.10H H σσσσα=≠=，从X 中抽取容量112n =的样本，从Y 中抽取容量210n =的样本，算得2212118.4,31.93S S ==，正确的检验方法与结论是（ ）（A ）用t 检验法，临界值0.05(17) 2.11t =，拒绝0H ．（B ）用F 检验法，临界值0.050.95(11,9) 3.10,(11,9)0.34F F ==，拒绝0H ． （C ）用F 检验法，临界值0.950.05(11,9)0.34,(11,9) 3.10F F ==，接受0H ． （D ）用F 检验法，临界值0.010.99(11,9) 5.18,(11,9)0.21F F ==，接受0H ．3．设总体2~(,)X N μσ， 2σ未知，假设00:H μμ=的拒绝域为αμμ≤-，则备择假设1H 为（ ）（A ）0μμ≠．（B ）0μμ>．（C ）0μμ<． （D ）0μμ≤．三、计算题1．某车间用一台包装机包装葡萄糖，包得的袋装葡萄糖的净重X（单位kg）是一个随机变量，它服从正态分布2(,)Nμσ，当机器工作正常时，其均值为0.5kg，根据经验知标准差为0.015kg（保持不变），某日开工后，为检验包装机的工作是否正常，从包装出的葡萄糖中随机地抽取9袋，称得净重为0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512α=下检验机器工作是否正常．试在显著性水平0.052．设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均α=下，是否可以认为这次考试全体成绩为66.5分，标准差为15分，问在显著性水平0.05考生的平均成绩为70分？并给出检验过程．3．设有甲，乙两种零件，彼此可以代用，但乙种零件比甲种零件制造简单，造价低，经过试验获得抗压强度（单位：2kg/cm ）为甲种零件：88, 87, 92, 90, 91， 乙种零件：89, 89, 90, 84, 88.假设甲乙两种零件的抗压强度均服从正态分布，且方差相等，试问两种零件的抗压强度有无显著差异（取0.05α=）？4．某无线电厂生产的一种高频管，其中一项指标服从正态分布2(,)N μσ，从一批产品中抽取8只，测得该指标数据如下：66,43,70,65,55,56,60,72,（1）总体均值60μ=，检验228σ=（取0.05α=）； （2）总体均值μ未知时，检验228σ=（取0.05α=）．综合练习一一、填空题1．袋中装有2红4白共6只乒乓球，从中任取2只，则取得1只红球1只白球的概率为 ．2．设A 、B 为两个随机事件，已知111(),(|),(|)223P A P A B P B A ===，则()P A B = ．3．设随机变量X 的概率分布为{},(0,1,2,),,0!k P X k a k k λλ==⋅=>L 常数，则a = ．4．设随机变量X 服从二项分布(,),()1.6,()1B n p E X D X ==，则分布参数n = ，p = ．5．设随机变量X 的数学期望()E X μ=，方差2()D X σ=，则由切比雪夫不等式有{||3}P X μσ-<≥ ．6．设总体2~(,)X N μσ，2σ未知，X 和2S 分别是容量为n 的样本均值和样本方差，则检验假设00:H μμ=使用的检验统计量 在0H 成立的条件下服从(1)t n -．二、选择题1．设()0P AB =，则（ ） （A ）A 和B 互不相容． （B ）A 和B 相互独立． （C ）()0P A =或()0P B =．（D ）()()P A B P A -=．2．设随机变量2~(,)X N μσ，则随着2σ增大，概率{||0}P X μ-<（ ） （A ）单调增大．（B ）单调减小． （C ）保持不变．（D ）增减不变．3．设X 是来自总体211(,)N μσ的容量为m 的样本均值，Y 是来自总体222(,)N μσ的容量为n 的样本均值，两个总体相互独立，则下列结论正确的是（ ）（A ）221212~(,)X Y N mnσσμμ---． （B ）221212~(,)X Y N mnσσμμ+--． （C ）221212~(,)X Y N mnσσμμ+-+．（D ）221212~(,)X Y N mnσσμμ--+．4．设总体2~(,)X N μσ，2σ已知，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，欲求总体均值的置信度为1α-的置信区间，使用的样本函数服从（ ）（A ）标准正态分布． （B ）t 分布． （C ）2χ分布．（D ）F 分布．三、解答下列各题1．某仓库有十箱同样规格的产品，其中有五箱、三箱、两箱依次是由甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙三厂生产该产品的次品率依次为111,,101220，今从这十箱产品中任取一箱；再从中任取一件产品．（1）求取到的产品是合格品的概率；（2）若已知抽取的产品是合格品，求它由甲厂生产的概率．2．设随机变量X 的概率密度为||()e ,()x f x A x -=-∞<<+∞，求（1）常数A ；（2）X 的分布函数．3．求总体(20,3)N 的容量分别为10和15的两个独立样本均值之差的绝对值大于0.3的概率．4．设总体X 的概率密度为(1)(1),12,()0,x x f x θθ⎧+-<<=⎨⎩其它, 其中0θ>是未知参数，又12,,,n X X X L 为取自总体X 的简单随机样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量.5．一电子仪器由两部件构成，以X 和Y 分别表示两部件的寿命（单位：千小时），已知X 和Y 的联合分布函数为0.50.50.5()1e e e ,0,0,(,)0,x y x y x y F x y ---+⎧--+≥≥=⎨⎩其它, 问X 和Y 是否相互独立．6．设随机变量(,)X Y 的联合概率密度为26,01,01,(,)0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它. 求：（1）关于X 和Y 的边缘概率密度()X f x 和()Y f y ；（2）求{}P X Y ≥.7．设对某目标连续射击，直到命中n次为止，每次射击的命中率为p，求子弹消耗量X的数学期望．8.设二维随机变量,)X Y（在区域{}=<<<<上服从均匀分布，求(,)01,01D x y x yf z.=+的概率密度()Z X YZ综合练习二一、填空题1．设A 与B 是两个互不相容的随机事件，且()0.4,()0P A PB ==，则(|)P A B = ．2．设随机变量X 和Y 的方差分别为()25,()36D X D Y ==，相关系数0.4XY ρ=，则()D X Y -= ．3．已知离散型随机变量X 的分布函数为0,2,0.1,20,()0.4,01,0.8,13,1,3,x x F x x x x <-⎧⎪-≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ 则()E X = ．4．设总体X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，样本均值2x =，则{0}P X =的最大似然估计值是 ．5．设(1,2,,)i X i n =L 是来自总体2~(,)X N μσ的容量为n 的简单随机样本，方差2σ已知，检验假设0010:,:H H μμμμ=≠，检验统计量为~(0,1)u N =，在显著性水平α下，拒绝域为 ．二、选择题1．独立地投了3次篮球，每次投中的概率为0.3，则最可能投中的次数为（ ） （A ）0．（B ）1．（C ）2．（D ）3． 2．已知()0.5,()0.6,(|)0.8P A P B P B A ===，则()P A B =（ ） （A ）0.5．（B ）0.6．（C ）0.7．（D ）0.8．3．设X 与Y 均服从标准正态分布，则（ ） （A ）()0E X Y +=． （B ）()2E X Y +=． （C ）~(0,1)X Y N +．（D ）X 与Y 相互独立．4．设12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，X 为样本均值，则总体方差的无偏估计量为（ ）（A ）()211ni i X Xn =-∑． （B ）[]211()ni i X E X n =-∑（()E X 未知）．（C ）()21nX X-∑．（D ）[]21()nX E X -∑（()E X 未知）．5．设θ为总体X 的未知参数，12,θθ为统计量，12,θθ为θ的置信度为1(01)αα-<<的置信区间，则应有（ ）（A ）{}12P θθθα<<=． （B ）{}21P θθα<=-． （C ）{}2P θθα<=．（D ）{}121P θθθα<<=-．三、设随机变量X 的分布函数为0,0,()1(1)e ,0.xx F x x x -≤⎧=⎨-+>⎩（1）求X 的概率密度()f x ；（2）计算{}1P X ≤．四、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求从乙箱中任取一件产品是次品的概率.五、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(1)e,0,0,(,)20,.x y k x x y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其 它求：（1）系数k ；（2）边缘概率密度；（3）X 和Y 是否独立.六、设12,,,n X X X L 为来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，2211()1n i i S X X n ==--∑，统计量221,T X S n=-证明T 是2μ的无偏估计量.。