一元二次方程的解法【基础知识精讲】 1．一元二次方程的解法(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或b )a x (2=-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．(3)配方法：任何一个形如bx x 2+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2=++时，可把方程化为7x 6x 2-=+，22226726x 6x ⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++，即2)3x (2=+，从而得解． 注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1． (2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac 4b b x 2-±-=．用公式法解一元二次方程的一般步骤：①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2=++(a ≠0)的形式；②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；③计算0ac 4b 2<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)；④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．2．一元二次方程根的判别式一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=∆叫做一元二次方程0c bx ax 2=++的根的判别式．△>0⇔方程有两个不相等的实数根． △＝0⇔方程有两个相等的实数根． △<0⇔方程没有实数根．判别式的应用(1)不解方程判定方程根的情况； (2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用定理：如果方程0c bx ax 2=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么a cx x a b x x 2121=⋅-=+，． 当a ＝1时，c x x b x x 2121=⋅-=+，． 应用：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 【经典例题精讲】例1 解方程025x 2=-．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：025x 2=-，25x 2=，25x ±=，x ＝±5．∴5x 5x 21-==，．例2 解方程2)3x (2=+．分析：如果把x ＋3看作一个字母y ，就变成解方程2y 2=了． 解：2)3x (2=+，23x ±=+， 23x 23x -=+=+，或，∴23x 23x 21--=+-=，．例3 解方程081)2x (42=--． 分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：081)2x (42=--整理，81)2x (42=-，481)2x (2=-，292x ±=-，∴25x 213x 21-==，．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若a x 2=，则a x ±=；若b )a x (2=-，则a b x +±=．例4 解方程02x 3x 2=+-．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解． 解法一：02x 3x 2=+-，(x －2)(x －1)＝0， x －2＝0，x －1＝0， ∴2x 1x 21==，． 解法二：∵a ＝1，b ＝－3，c ＝2，∴01214)3(ac 4b 22>=⨯⨯--=-，∴213x ±=．∴1x 2x 21==，．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5 解关于x 的方程0n )n m 2x 3(m x 22=-+--．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x 的方程，即x 为未知数，m ，n 为已知数．在确定0ac 4b 2≥-的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得0)n mn m 2(mx 3x 222=--+-．∵a ＝1，b ＝－3m ，22n mn m 2c --=，∴)n mn m 2(14)m 3(ac 4b 2222--⨯⨯--=-22n 4mn 4m ++= 0)n 2m (2≥+=．∴2)n 2m (m 3x 2++=2)n 2m (m 3+±=．∴n m x n m 2x 21-=+=，．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a 、b 、c 和ac 4b 2-的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a 、b 、c 与方程中字母系数的a 、b 、c 相混淆；(3)在ac 4b 2-开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n 2m ()n 2m (2+±=+±．例6 用配方法解方程x 73x 22=+．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：x 73x 22=+，023x 27x 2=+-，234747x 27x 22=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2， 162547x 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-， ∴4547x ±=-．∴21x 3x 21==，．注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x 3x 22=-+；(2)y 249y 162=+；(3)0x 7)1x (52=-+．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac 4b 2-=∆的值的符号就可以了．解：(1)∵a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-．∴方程有两个不相等的实数根． (2)∵a ＝16，b ＝－24，c ＝9，∴09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-． ∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+，05x 7x 52=+-．∵a ＝4，b ＝－7，c ＝5，∴554)7(ac 4b 22⨯⨯--=-＝49－100 ＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般形式，再正确确定a 、b 、c 的符号．例8 已知方程06kx x 52=-+的一个根是2，求另一根及k 的值．分析：根据韦达定理a cx x a b x x 2121=⋅-=+，易得另一根和k 的值．再是根据方程解的意义可知x ＝2时方程成立，即把x ＝2代入原方程，先求出k 值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为2x ，则56x 25k x 222-=⋅-=+，，∴53x 2-=，k ＝－7．即方程的另一根为53-，k 的值为－7．注意：一元二次方程的两根之和为a b -，两根之积为a c ．例9 利用根与系数的关系，求一元二次方程01x 3x 22=-+两根的(1)平方和；(2)倒数和．分析：已知21x x 23x x 2121-=⋅-=+，．要求(1)2221x x +，(2)21x 1x 1+， 关键是把2221x x +、21x 1x 1+转化为含有2121x x x x ⋅+、的式子．因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab 2b a )b a (222++=+，所以ab 2)b a (b a 222-+=+，由此可求出(1)．同样，可用两数和与积表示两数的倒数和．解：(1)∵21x x 23x x 2121-=⋅-=+，， ∴212212221x x 2)x x (x x -+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212232149+= 413=；(2)211221x x x x x 1x 1+=+ 2123--= ＝3． 注意：利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和，其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积，其变形的方法主要运用乘法公式．例10 已知方程0m x 4x 22=++的两根平方和是34，求m 的值．分析：已知34x x 2m x x 2x x 22212121=+=⋅-=+，，，求m 就要在上面三个式子中设法用222121x x x x ++和来表示21x x ，m 便可求出．解：设方程的两根为21x x 、，则2mx x 2x x 2121=⋅-=+，．∵212212221x x 2)x x (x x -+=+， ∴)x x ()x x (x x 2222122121+-+= 34)2(2--=＝－30．∵2mx x 21=，∴m ＝－30．注意：解此题的关键是把式子2221x x +变成含2121x x x x 、+的式子，从而求得m 的值．例11 求一个一元二次方程，使它的两个根是2、10．分析：因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)0q px x 2=++的形式．如设其根为21x x 、，根据根与系数的关系，得q x x p x x 2121=⋅-=+，．将p 、q 的值代入方程0q px x 2=++中，即得所求方程0x x x )x x (x 21212=⋅++-． 解：设所求的方程为0q px x 2=++． ∵2＋10＝－p ，2×10＝q ， ∴p ＝－12，q ＝20．∴所求的方程为020x 12x 2=+-．注意：以21x x 、为根的一元二次方程不止一个，但一般只写出比较简单的一个．例12 已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数．分析：把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根，则这个方程的一次项系数就应该是－8，常数项应该是9，有了这个方程，再求出它的根，即是这两个数．解：设这两个数为21x x 、，以这两个数为根的一元二次方程为0q px x 2=++．∵q x x p 8x x 2121=⋅-==+，，∴方程为09x 8x 2=+-．解这个方程得74x 74x 21-=+=，， ∴这两个数为7474-+和．例16 (2003·深圳)已知一元二次方程06x 3x 22=--有两个实数根21x x 、，直线l 经过点A(21x x +，0)，B(0，21x x )，则直线l 的解析式为( )A ．y ＝2x －3B ．y ＝2x ＋3C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －3分析：本题重点考查一元二次方程根与系数的关系以及用待定系数法求直线的解析式，先求21x x +与21x x ⋅的值，再求直线解析式．解：∵3x x 23x x 2121-=⋅=+，， ∴⎪⎭⎫⎝⎛0 23A ，，B(0，－3)． 将A 、B 代入y ＝kx ＋b 中，得⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=b 03bk 230， ∴⎩⎨⎧-==3b 2k ．∴直线l 的解析式为y ＝2x －3．故选A ．【常见错误分析】例17 已知关于x 的方程0m x )1m 2(mx 2=++-有两个实数根，则m 的取值范围是__________．错解：要使方程有两个实数根△≥0，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-，4m ＋1≥0，41m -≥． ∴m 的取值范围是41m -≥．误区分析：要保证方程为一元二次方程，即要考虑二次项系数m ≠0，而上述解法只考虑△≥0，而忽视了m ≠0．正解：要使方程有两个实数根，需满足⎩⎨⎧≥∆≠00m ，∴0m m 4)]1m 2([2≥⋅-+-=∆，4m ＋1≥0，41m -≥．∴m 的取值范围是41m -≥，且m ≠0．例18 如果方程0q px x 2=+-的两个根和2和－3，求p ，q ． 错解：根据根与系数的关系 2＋(－3)＝－p ，2×(－3)＝q ， 故p ＝1，q ＝－6．误区分析：若方程0c bx x 2=++的两根为21x x ，，根据根与系数的关系b x x 21-=+，而题中2＋(－3)应为－(－p)，因题中的b 为－p ，－b 就为－(－p)．错解原因是将两根之和等于b 了．正解：根据根与系数的关系 2＋(－3)＝－(－p)，2×(－3)＝q ， ∴p ＝－1，q ＝－6．。