名师独家秘笈 ——“隐圆最值”
几何求最值是初中数学难点之一，而“隐圆”问题便是常见的一类考题，此类问题综合性强 （常常会牵扯到三角形、四边形、甚至坐标系等问题），隐蔽性强（不容易想到），加上部分题 目的计算量很大，很容易造成同学们的丢分。近年来在全国各地的中考或名校的模拟考试中经常 会出现“隐圆”求最值的问题(2014、2015、2016连续三年陕西中考的压轴题的最后一问都牵 扯到了隐圆）。此类题目出现的位置一般是在填空的最后一题或是压轴题，基本都是难题。广大 学生在此问题上经常丢分，甚至已经到了谈“隐圆”变色的地步。
A
P BD
P'
E
C
方法总结
名师说法
附：圆外一点到圆上的最小距离和最大距离 如图：点 P 为圆O 外一点，连接 PO 交圆O 于M 点，延长 PO 交圆O 于 N 点。 则线段 PM 长为点 P 到圆O 上一点的最小距离；线段 PN 长为点 P 到圆O 上一点的最大距离
P
O
N
M
名师数学
温馨提示：
在动点运动的过程中同学们要注意的是：虽然点在动（或不确定位置）， 但题目一定会有一些量是不变的，可能是某条线段的长度不变，也可能是 某个角度不变，也有可能某个线与线、线与角、角与角的关系不变，这样 才能化动态问题为定态问题。这个需要同学们对题目进行认真的分析和B = 900 ，AB = 6 ，BC = 8 ，D 为 AC 边一动点，过点 D 作DE ⊥DF
，分别交 AB 边、 BC 边于 E 、 F 两点，则 EF 的最小值是
。
A
E
D
B
F
C
思路）分析：
由于在四边形 EBFD 中 ，DE ⊥ DF ，∠B = 90o ，所以 E、B、F、D 四点共圆（对角互补的四边形 四个顶点共圆），且 EF 为圆的直径（如图 2）。所以，要求 EF 的最小值其实质就是求圆的直 径最小值。
D C
M
A
B
P
O
秘籍三：
知识原型：利用“定线（弦）定角存隐圆”求最值
例 3：边长为 3 的等边ΔABC ， D 、 E 分别为边 BC 、 AC 上的点，且 BD = CE ， AD 、BE
交于P 点，则CP 的最小值为
。
A
E P
BD
C
思路）分析：
分 析 ： 由 题 目 条 件 可 知 Δ A B D ≌ΔBCE ，所以∠BAD = ∠CBE ， 又 因 为 ∠ C B E +∠ABE = 60o ， 所 以∠BAD +∠ABE = 60o ，所以∠APB = 120o 。 我 们 观 察 到 在 点 P 运 动 的 过 程 中 ∠ A P B = 120o 是 固 定 角 度 ， 且 ∠ A P B 所 对 的 线 段 AB 也 是 固 定 的 ， 所 以 A 、 B 、 D 三 点 共 圆 ， 其 中 AB 为 弦 ， ∠APB 为圆周角。（理论基础 ：同弦在同侧所对的圆周角相等 ）如图，作圆O 使 得 A 、 B 、 D 三 点 共 圆 ， 则 动 点 P 的 运 动 轨 迹 就 是 弧 AB ， 连 接 O C 与 圆 O 交 于 点 P' ，则C P' 的 长 就 是 C P 的 最小值。（此题的关键点是找 P 点的运动轨迹，而找 P 点的运动轨迹的关键点是发现有定 线定角）
A B
D C
核心笔记3：
定理.外角等于内对角的四边形内接于圆。
如图, 已知四边形ABCD，若∠B+∠D=180°，则A,B,C,D四点共圆
A D
B C
（不常用不细说）
02
新课学习探究
发现规律
规律探究
解决问题
秘籍一：
知识原型：直径也是圆中的弦，并且是圆中最长的弦。 也就是说当圆中有某一固定长度线段AB为圆中的弦时，只有当AB为直径时，圆的直径才会最小。
A
D E
B
F
C
由于 BD 始终是圆中一条弦，当BD⊥ AC 时BD 有最小值，所以此时BD 为直径时圆的直径最小
PM ⊥l
规律总结
过直线（线段） 外一点P 与直线（线段）L 上一动点 所做的圆中，当 ������������ ⊥������ 时(也就是直线（线段） 与所做圆相切时)圆最小（直径、半径最短）
怎样判定四点共圆呢？下面的问题你需要做点笔记：
等线段共顶点：如图，若OA=OB=OC=OD,则A,B,C,D四点共圆
D A
O
B
C
核心笔记一 定理.对角互补的四边形内接于圆。
如图, 已知四边形ABCD，若∠B+∠D=180°，则A,B,C,D四点共圆
D A
O
B C
核心笔记2： 定理.从线段同一侧的两个点看向两个端点的张角相等，那么这四个点共圆。 如图，AC,BD相交于点P，若∠B=∠A，则A,B,C,D四点共圆
知识导引
为了解决好这个问题我们需要重温圆的定义：
什么叫做圆？请回答： 圆，到定点（原心）距离等于同一个常数（半径）的点的轨迹。
圆中半径处处相等的，这些点都在圆周上。
我们知道不共线的三点确定一个圆
那么怎么样的四点确定一个圆呢？这就是我们首先要搞清楚的第一各问题
四点共圆的问题？
【定义】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆， 一般简称为“四点共圆”。
秘籍二：
知识原型：圆的内接四边形对角一定互补，反之，对角互补的四边形四个顶点一定在同一个圆上。。
例2.如图，定长弦CD在以为AB直径的ΘO上滑动（点C、D与点A、B不重合），M 是CD
的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，求PM 长度的最大值
。
D C
M
A
B
P
O
思路）分析：
由于 M 是CD 的中点，所以，连接OM 后OM ⊥CD ,又因为CP⊥ AB ，所以在四边形OMPC 中，对角∠CPO+∠CMO=180o ，所以O 、M 、C 、P四点共圆，且OC为直径(由于OC为定 值 4，所以在运动的过程中圆的大小不变）， PM 为弦，所以当MO⊥PO 时 PM 最大为圆的 直径。即 PM 最大就是等于OC 等于 4.（直径是圆中最长的弦）
我们下次课再见！