点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
1
ab
adcb；2、适合右手定则。
cd
二、平面法向量的应用
1、求空间角
为平面α内任一点，平面的法向量为，则点B到平面α的距离公式为d
三、高考真题新解
例1、已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，
AB∥DC，DAB90,PA底面ABCD，且PA=AD=DC=
mn0,mn,即平面A1MC平面A1BD1.
(III).设点A到平面A1MC的距离为d,
mMCMA1(a2,
又MA(
2222
a,a)是平面A1MC的法向量, 22
2|mMA|1
a,0,0),A点到平面A1MC的距离为:da.22|m|
四、用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
3|m||n|
22
面AMC与面BMC所成二面角的大小为arccos().
33
例2、(本题满分12分)如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝a，BC，M是AD的中点。(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线l,m的方向向量分别为,，平面,的法向量分别为,。
1.平行关系
l//ma//bab线线平行
线面平行l//auau0
证明线面平行：在图2-9中,m向是平面的法向量，a是直线a的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直。
证明面面垂直：在图2-10中，m是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量垂直
证明面面平行：在图2-11中, m向是平面的法向量，n是平面的法向量，证明两平面的法向量共线。
2
mn2
m,ccos().
平面法向量的求法-法向量怎么求
法向量的求法及其应用
平面法向量的求法及其应用
引言：本节介绍平面法向量的两种求法,并对平面法向量在高中立体几何中的应用作归纳和总结。其中重点介绍外积法求平面法向量的方法，因为此方法比内积法更具有优越性,特别是在求二面角的平面角方面。此方法的引入，将对高考立体几何中求空间角、求空间距离、证明垂直、证明平行等问题的解答变得快速而准确，那么每年高考中那道12分的立体几何题将会变得更加轻松。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系图D-xyz如图所示.
(I).BC(2a,0,0),BA1(0,a,a),设平面A1BC的法向量为nBCBA1(0,2a2,2a2)
又AD(2a,0,0),nAD0,ADn,即AD//平面A1BC.
五、应用举例：
1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D中，E、F分别是BB1、CD的中点. (I)求AE与D1F所成的角(II) (II)证明面AED⊥面A1FD1
|ABn||n|
1
AB=1，M是2
直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-5,直线a与平面
d
ABn|n|
，其中A,Ba。
n是平面的法向量
、平面与平面间的距离:
PB证明：面PAD⊥面PCD；求AC与PB所成的角；
求面AMC与面BMC解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
3、证明ACPB(II).AC(1,1,0)，PB(0,2,1)，AC,PB
5|AC||PB|
111
(III).CM(1,0,)，CA(1,1,0)，设平在AMC的法向量为mCMCA(,,1).
222
11
又CB(1,1,0),设平面PCD的法向量为nCMCB(,,1).
22
证明线面垂直：在图2-8中,m在向量共线。
的向量a,b。由n，得na0且nb0，由此得到关于x,y,z的方程组，解此方程组即可得到n。方法二(外积法):设
m,n;
m,n(图2-3)
,为空间中两个不平行的非零向量，其外积ab为一长度等于
|a||b|sin，，而与
,皆垂直的向量。通常我们采取
「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为ab的方向,abba。设a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2),则:
方法指导：如图2-7,两平行平面,
(I).AP(0,0,1)，AD(1,0,0)，设平面PAD的法向量为mAPAD(0,1,0)又DC(0,1,0)，DP(1,0,1)，设平面PCD的法向量为nDCDP(1,0,1)
d
|ABn||n|
，其中A,B。n是平面、的法向量。
mn0，mn，即平面PAD平面PCD。
图2-3
x1z1x1y1y1z1
,,ab
yzx2z2x2y222
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，m的方向对平面而言向外，n的方向对平面而言向内；在图2-3中，m的方向对平面而言向内，n的方向对平面而言向内。我们只要用两个向量的向量积使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角l的平面角。2、求空间距离
(1)、求线面角：如图2-1，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，
sin|cosn,AB|
一、平面的法向量
1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类，无数条。
2、平面法向量的求法
别是平面、的法向量，则二面角l的平面角为：
方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n(x,y,z)，在平面内任找两个不共线
2.三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，BAC90，A1A平面
ABD1
2
(II).MC(a,0,a)
2
,
2
MA1(a,a,0)
2
,设平面A1MC的法向量为:
mMCMA1(a2,
2222a,a), 22
2
2
B
D
E
又BD1(2a,a,a),BA1(0,a,a),设平面A1BD1的法向量为: nBD1BA1(0,2a,2a),