等腰三角形性质：三线合一”专题
等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
这就是 著名的等腰三角形
“三线台一”性质。
“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。
反之， 如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合， 那么这个三角形就是等腰三角形。
【例题讲解】
例二：如图△ ABC 中，AB = AC, / A = 36°, BD 平分/ ABQ DE 丄 AB 于 E ,若 CD= 4，且△ BDC 周长为 24，求 AE 的长度。
变式练习1-2 已知，如图所示, 求证：AD 垂直平分EF 。
AD >△ ABC ，DE DF 分另U >△ ABDA ACD 的高。
求证：AD 垂直平分BG
例三•等腰三角形顶角为 ，一腰上的高与底边所夹的角是 ，则 与 的关系式为
图2
分析：欲证/ ACE=/ B,由于AC=AB 因此只需构造一个与 Rt △ ACE 全等的三角形，即做底边 BC 上的高即可。
证明：作
ADL BC 于D, •/ AB=AC
1
••• BD BC
2 1
又••• CE BC ,
2
• - BD=CE
在 Rt △ ABD 和 Rt △ ACE 中，
AB = AC, BD=CE
• Rt △ ABD^ Rt △ ACE( HL )。
• / ACE 玄 B
例五•已知：如图3,等边三角形 ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线一点，CE=CD DM L BC 于M,求证: M 是BE 的中点。
分析：如图1，AB=AC
EAC 90° / C ，/
BD 丄AC 于D,作底边
BC 上的高 AE, E 为垂足，则可知/ EAC=/ EAB - 又/
2 ，
90° / C ，所以
例四•已知：如图2, △ ABC 中，AB=AC CE!AE 于E , CE
1
— 。
2
1 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE / B 。
2
图1
图3
分析：欲证M是BE的中点，已知DMLBC,因此只需证DB=DE即证/ DBE= E,根据等边厶ABC BD是中线, 可知/ DBC=30，因此只需证/ E=30°o
证明：联结BD,
•••△ABC是等边三角形，
•••/ ABC玄ACB=60
•/ CD=CE
•••/ CDE=/ E=30°
•/ BD是AC边上中线，
•BD平分/ ABC 即/ DBC=30
•••/ DBE=/ E o
•DB=DE
又••• DML BE
• DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。
巩固练习一：
1、已知ABC的周长为36cm，且AB AC，又AD BC , D为垂足，ABD的周长为30cm，那么AD的长为（）
I)
A. 6cm
B. 8cm
2、如图2,在厶ABC中，
A .
C. 12cm
D. 20cm
AB=AC Z BAD=3d3, AD=AE 则Z EDC=() 0
3、如图第在△图ABC中，AB= AC,
A、2 对
B、3 对C
4、如图，在等腰直角△ ABC中，
第4题图
D是BC的中点，DEL AB于E , DF L AC于F,则图中全等三角形共有（
、4对D 、5对
AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F,连C
结EF 与AD 相交于 G 则/ AED 与/ AGF 的关系为（）
/ AEDN AGF B . Z AED=Z AGF C . Z AED</ AGF D .不能确定 如图，在△ ABC 中，AB=AC BD 平分Z ABC 且 BD=BE Z A=84°,则Z DEC= 如图，CE 平分Z ACB 且 CE!BD, DA=DB 又知 AC=18 △ CDB
A . 5
、
6的周长为28 ,那么BE 的长为 _____________________ o
第5题图
7、如图，在等腰厶 ABC 中，/ ABC=90 , D 为AC 边上中点，过 D 点作DEL DF,交AB 于E ,交BC 于F ,若AE=4, FC=3,则厶ABC 的面积为
11、已知：如图1, AAEC 中，AE = AC,D 是EC 上一点，E 、F 分别为AE 、AC 上的点，且BD = C F,CD = BE,G 为EF 的中点，求证：DGLEF.
12、如图，以厶ABC 的边AB, AC 为边分别向形外作正方形 ABDE 和ACFG DM FN 分别垂直直线 BC 于M N.若DM=FN, 求证：/ ABC=z ACB
G
E
&、如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于
① AC L BD ② BC=DE ③/ DBC=1 / DAB
2
④厶ABE 是等边三角形.请写出正确结论的序号
_____ .（把你认为正确结论的序号都填上 ）
E 点，若AC 平分/ DAB 且AB=AE AC=AD 有如下四个结论:
D
9、已知：如图 2,A ABC 中，AB=AC CE! AE 于 E , CE
1 BC , E 在厶 ABC 外,求证：/ ACE=/ Bo
2
10、如图△ ABC 中，AB=AC D 为AC 上任意一点，延长
使得 AE=AD 连接DE 求证
DEI BC
BA 到
E
【巩固练习二】
1、等腰三角形一边等于5,另一边等于8,则周长是 _________________ 。
2、在厶ABC中，已知AB= AC, AD是中线，/ B= 70°, BC= 15cm,则/ BAC= _____________ ，/ DAC= _________ , BD
3、在厶ABC中，/ BAC= 90°, AD丄BC于D, AB= 3, AC= _________ 4,贝U AD= 。
4、已知△ ABC中，/ A = n°,角平分线BE、CF相交于O,则/ BOC的度数应为( )
1 1 1
(A)90° ——n °( B) 90°+—n °( C) 180°—n°( B) 180° ——n °
2 2 2
5、下列两个三角形中，一定全等的是( )
(A)有一个角是40°,腰相等的两个等腰三角形
(B)两个等边三角形
(C)有一个角是100°,底相等的两个等腰三角形
(D)有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
已知：如图，△ ABC中，AB=AC小强想做/ BAC的平分线，但他】
的平分线？
7、已知：如图，B D E、C在同一直线上，AB=AC AD=AE求证：BD=CE
D E C
& 如图，Rt △ ABC 中，/ ABC=90 , D 是AB 上一点，且BD=BC DEI AB 交AC 于E。
求证：CDL BE。
BAC 6、
D
9、如图，锐角△ ABC中，/ B=2Z C, AD为BC边上的高，求证：DC=AB+B D
10、如图2, BM CN分别是△ ABC的外角/ BAD / ACE的平分线。
AML BM M N为垂足。
求证：MIN/ CN。