（x 的取值范围）
一次函数
1.．自变量 x 和因变量 y 有如下关系：
y=kx+b （k 为任意不为零实数，b 为任意实数） 则此时称 y 是 x 的一次函数。
特别的，当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数。
即：y=kx （k 为任意不为零实数）
定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。
第四章：一次函数知识点总结 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取 同一数值的量。 例题：在匀速运动公式 s vt 中, v 表示速度, t 表示时间, s 表示在时间 t 内所走的路程, 则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式 C=2πr 中，变量是________， 常量是_________. 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个 确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因 变量，y 是 x 的函数。
2
2
B. 3 y 5
2
2
C. 3 y 5
2
2
D. 3 y 5
2
2
5、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐
标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 例题：下列函数中，自变量 x 的取值范围是 x≥2 的是（ ）
A．y= 2 x
B．y= 1 x2
C．y= 4 x2
D．y= x 2 · x 2
A.0
B. 2
3
C. 2 3
D. 3 2
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，
描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出
则 13.5=3k+12，得 k=0.5
∴所求函数解析式为 y=0.5x+12
由 23=0.5x+12 得：x=22
∴自变量 x 的取值范围是 0≤x≤22
4、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
挂物体质量 x(kg)之间的函数关系式.如果弹簧最大总长为 23cm，求自变量 x 的取值
范围.
分析：此题由物理的定性问题转化为数学的定量问题，同时也是实际问题，其核心是
弹簧的总长是空载长度与负载后伸长的长度之和，而自变量的取值范围则可由最大总
长→最大伸长→最大质量及实际的思路来处理.
解：由题意设所求函数为 y=kx+12
*判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之 对应
1 例题：下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=x (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1 中，
是一次函数的有（ ）
（A）4 个
（B）3 个
（C）2 个
（D）1 个
3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
小。
解：根据正比例函数的定义和性质，得 且 m<0，即 且 ，所以 。
二、比较 x 值或 y 值的大小
例 2. 已知点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是一次函数 y=3x+4 的图象上的两个点，且
y1>y2，则 x1 与 x2 的大小关系是（ ）
A. x1>x2 B. x1<x2 C. x1=x2
解：由 kb>0，知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k<0。所以 b<0。故一次
函数 y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。故选 A . 典型例题:
例 1. 一个弹簧，不挂物体时长 12cm,挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的
质量成正比例.如果挂上 3kg 物体后，弹簧总长是 13.5cm，求弹簧总长是 y(cm)与所
特别地，当 b=0 时，直线通过原点 O（0，0）表示的是正比例函数的图像。 这时，当 k＞0 时，直线只通过一、三象限；当 k＜0 时，直线只通过二、四象限。
4、特殊位置关系 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中 K 值（即一次项系数）相等 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中 K 值互为负倒数（即两个 K
D.无法确定
解：根据题意，知 k=3>0，且 y1>y2。根据一次函数的性质“当 k>0 时，y 随 x 的增大
而增大”，得 x1>x2。故选 A。
判断函数图象的位置
例 3. 一次函数 y=kx+b 满足 kb>0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过
（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的截距。
一次函数性质： 1 在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 2 一次函数与 y 轴交点的坐标总是（0，b)，与 x 轴总是交于（-b/k，0）正比例函 数的图像总是过原点。 3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个次函数 y=kx+b 的性质是：（1）当 k>0 时，y 随 x 的增大而增大；（2）当 k<0 时， y 随 x 的增大而减小。利用一次函数的性质可解决下列问题。 一、确定字母系数的取值范围
例 1. 已知正比例函数 y (3m 5)x ，则当 m______________时，y 随 x 的增大而减
.函数 y=(k-1)x，y 随 x 增大而减小，则 k 的范围是 ( )
A. k 0
B. k 1
C. k 1
D. k 1
函数 y x 5 中自变量 x 的取值范围是___________.
已知函数 y 1 x 2 ，当 1 x 1 时，y 的取值范围是 （ ） 2
A. 5 y 3