三角函数线及其应用
【知识梳理】
1．有向线段 带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线 图示
正弦线
α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，有向线段MP 即为正弦线 余弦线
有向线段OM 即为余弦线 正切线 过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T ，有向线段AT 即
为正切线
题型一、三角函数线的作法
【例1】 作出3π4
的正弦线、余弦线和正切线． [解] 角3π4
的终边(如图)与单位圆的交点为P . 作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，
与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4
的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .
【类题通法】
三角函数线的画法
(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从A (1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .
【对点训练】
作出－9π4
的正弦线、余弦线和正切线．
解：如图所示， －9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 题型二、利用三角函数线比较大小 【例2】 分别比较sin 2π3与sin 4π5；cos 2π3与cos 4π5；tan 2π3与tan 4π5
的大小． [解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x 轴非负半轴为始边
作2π3
的终边与单位圆交于P 点，作PM ⊥Ox ，垂足为M .由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 的垂线与OP 的反向延长线交于T 点，则sin
2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3
＝AT . 同理，可作出4π5的正弦线、余弦线和正切线，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5
＝AT ′.由图形可知，MP >M ′P ′，符号相同，则sin 2π3>sin 4π5；OM >OM ′，符号相同，则cos 2π3>cos 4π5
；AT <AT ′，符号相同，则tan 2π3<tan 4π5
. 【类题通法】
利用三角函数线比较大小的步骤
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．
【对点训练】
设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4
，上述长度关系又如何？
解：如图所示，当π4<α<π2
时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT >MP >OM ；
当π2<α<3π4
时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切
线为AT ′，显然在长度上，AT ′>M ′P ′>OM ′.
题型三、利用三角函数线解不等式
【例3】 利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围．
(1)sin α<－12；(2)cos α>32. [解] (1)如图①，过点⎝
⎛⎭⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6
， 故α的范围是⎩⎨⎧
α⎪⎪⎭⎬⎫7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z . (2)如图②，过点⎝⎛
⎭⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos ∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6
， 故α的范围是⎩⎨⎧
α⎪⎪⎭⎬⎫－π6＋2k π<α<π6＋2k π，k ∈Z . 【类题通法】
利用三角函数线解三角不等式的方法
利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图像可得．
【对点训练】
利用三角函数线求满足tan α≥33
的角α的范围． 解：如图，过点A (1,0)作单位圆O 的切线，在切线上沿y 轴正方向取
一点T ，使AT ＝33
，过点O ，T 作直线，则当角α的终边落在阴影区域内
(包含所作直线，不包含y 轴)时，tan α≥33.由三角函数线可知，在[0°，360°)内，tan α≥33
，有30°≤α<90°或210°≤α<270°，故满足tan α≥33
，有k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋90°，k ∈Z . 【练习反馈】
1．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( )
A ．第一象限的角平分线上
B ．第四象限的角平分线上
C ．第二、四象限的角平分线上
D ．第一、三象限的角平分线上
解析：选C 由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上．
2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8
的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( ) A ．MP <OM <0
B ．OM >0>MP
C ．OM <MP <0
D ．MP >0>OM
解析：选D 如右图所示，正弦线为MP ，余弦线为OM ，结合图
像，
可知：MP >0，OM <0，
故OM <0<MP .
3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．
解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1. 答案：1
4．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .
显然MP >OM ，即sin 1>cos 1.
答案：sin 1>cos 1
5．在单位圆中画出满足sin α＝12
的角α的终边．
解：所给函数是正弦函数，故作直线y ＝12
交单位圆于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则射线OP ，OQ 即为角α的终边．。