第十二章 习题一
数项级数
一．选择题
1．给定下列命题：① 若
∑∞
=-+1
21
2)(n n n u u
收敛，则∑∞=1
n n u 收敛；② 若∑∞
=1
n n u 收敛，则
∑∞
=+1100
n n u
收敛；③ 若0lim ≠=∞
→a u n n ，则
∑∞
=1
n n
u
发散；④ 若
∑∞
=+1
)(n n n
v u
收敛，则
∑∞
=1
n n
u
、
∑∞
=1
n n
v
都收敛．其中正确的命题是 （ B ）
（A ）①和②； （B ）②和③； （C ）③和④； （D ）①和④． 2．设∑==
n
k k
n a
S 1
，则数列}{n S 有界是级数
∑∞
=1
n n
a
收敛的 （ B ）
（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件；
（C ）充分且必要条件； （D ）既非充分又非必要条件． 3．若
∑∞
=1
2n n
a
、
∑∞
=1
2
n n
b
收敛，则
∑∞
=1
n n
n b
a （ C ）
（A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）收敛性不定． 4．设a 为常数，则级数
)cos 1()1(1
∑∞
=--n n
n a （ C ） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与a 有关．
5．级数∑∞
=+-1
1
)1(n p
n n （0>p ）敛散性为 （ A ） （A ）当1p >时，绝对收敛；当1p ≤时，条件收敛； （B ）当1p <时，绝对收敛；当1p ≥时，条件收敛；
（C ）当1p ≤时发散；当1p >时收敛； （D ）当0p >时，绝对收敛．
二．填空题 1．如果级数
∑∞
=1
n n
a
的部分和为常数a ，则=1a a ，=n a 0（当1>n 时）．
2．若
11
=∑∞
=n n
a
，则=+∑∞
=+1
1)(n n n a a 12a -．
3．设}{n S 为级数
∑∞
=1
n n
a
的部分和数列，且
∑∞
=1
n n
S
收敛，则
=∑∞
=1
n n
a
0．
4．设∞=∞
→n n b lim ，且0≠n b （ ,2,1=n ），则
=-∑∞
=+1
1
)1
1(
n n n b b 11b ．
5．
=-∑∞
=22
1
1
n n 43．
三．计算题
1．判别下列级数的敛散性，若收敛，求其和： （1）
1(1)!
n n
n ∞
=+∑． 解：1(1)!
n n
n ∞
=+∑=∑∑==∞→∞→+-+=+n k n k k n k k k k 11)!1(1)1(lim )!1(lim ∑=∞→+-=n
k n k k 1))!1(1!1(lim
1))!
1(1
1(lim =+-
=∞→n n ，故级数收敛，其和为1．
另解：1(1)!n n n ∞
=+∑∑∑∞
=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-+=11)!1(1!
1)!1(1)1(n n n n n n （∑∞=1!1n n 与∑∞=+1)!1(1
n n 都收敛） ∑∑∞
=∞=+-=11)!1(1!1n n n n ∑∑∞
=∞=-=12!1!1n n n n 1=． （2）
23111111113531031535n n
+++++++++ ．
解： ∑∞
=131n n 收敛，∑∞=11n n 发散，)51
3
1(1n n n +∴∑∞
=发散，故原级数发散．
2．判别下列正项级数的敛散性： （1）
(1)1
1
2
n
n n ∞
+-=∑．
解：1
)1(2
12
1--+≤
n n n
，∴级数收敛．
（2）
11
(0)1n n a a
∞
=>+∑．
解：当10<<a 时，0111
lim
≠=+∞→n
n a ，∴级数发散；
当1=a 时，02
1
11lim
≠=+∞→n n a ，∴级数发散； 当1>a 时，n n a a 111<+ ，而∑∞
=1
1
n n
a 收敛，∴级数收敛． （3）
1
tan 3
n
n n π
∞
=∑．
解：n
n n n
n n n n u u 3tan 3tan
1
lim lim 11π+∞→+∞→⨯
+= n
n n n n 331lim 1π
+∞→⨯+=13
1<=，∴级数收敛．
（4）
11
[ln(1)]
n
n n ∞
=+∑． 解：10)
1ln(1
lim
lim <=+=∞→∞
→n u n n n n ，∴级数收敛．
（5）13!
n n n n n
∞
=∑．
解：()13
1113lim 13lim lim 1>=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→+∞→e n n n u u n n n n n n
n n ，∴级数发散． 3．判别下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
（1）1
2
(1)ln n n n -∞
=-∑．
解：n n n n
1
ln 1|ln 1)
1(|>=- ，∴级数不是绝对收敛的； 又|ln 1)
1(|n
n - ↘0，由莱布尼兹审敛法知级数收敛，∴级数条件收敛． （2）11
(1)2
(1)2n n n
n ∞
-=-+-∑． 解：n n n n 2
3
2)1(2)1(1≤-+--｜｜ ，∴级数绝对收敛．
*4．利用级数求下列极限：
（1）2
1111lim (1)3
n k k n k n k →∞=+∑．
解：k
k k k k 12)11(31
lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ 13)11(31lim <=+=∞→e k k k ，∴2
11311k k k k ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
∑∞
=收敛， ∴21111lim (1)3
n k k n k n k →∞=+∑n n 1lim ∞→=0)11(31lim 2
1=+⋅∑=∞→k n
k k n k ． （2） n
n
n 319
13
1
)2(42lim ∞
→．
解：n
n
n 319
13
1)2(42lim ∞
→=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++∞
→n n n 33
2
3122
lim =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++∞→n n n 332
31lim 22
．
令n n n S 3
32312+++=
．由比值审敛法知级数 ++++n n
332312收敛，
n n S ∞
→∴lim 存在．记S S n n =∞
→lim ，则有
)3313231(313212n n n n n n n S S S +-+++=-=- )3
313231(132++-+++-n n n n 133131+-++=n n n 1133/113/13/1++---=n n n 13
23/11+--=n n n
， 令∞→n ，得
2
132=S ，43=∴S ．
n
n n 31
9
13
1)
2(42lim ∞
→∴4
32=．
*另解：n
n
n 319
13
1)2(42lim ∞
→=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++∞
→n n e
33
2
312ln lim =⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+++∞→n n e
332
31lim 2ln ∑=∞
=132n n
n
，
令 n
n x n x S ∑∞==
1
)(1
1
-∞
=∑=n n x
n x )(1
'=∑∞=n
n x x )(1
'=∑∞
=n n x x )1(
'-=x
x
x 2
)
1(x x
-=
， 1||<x ， 有∑∞
==13
)31(n n n S 2)3/11(3/1-=43=，∴n n 31
91
31
)2(42lim ∞→43
2=．
四．证明题
利用级数收敛的必要条件证明：!
lim
0n
n n n →∞=．
证：记n n n n u !=．11
111lim lim 1<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→+∞→e n u u n n n
n n ，∴级数∑∞
=1
!
n n n n 收敛，∴!
l i m 0n n n n
→∞=．证毕．。