二次函数一、解析式的求法 一般式2y ax bx c =++⎧⎨⎩已知没有规律的三个点的坐标已知a:b:c,并且已知一个点的坐标顶点式2()y a x m n =++⎧⎪⎨⎪⎩已知顶点及另一点的坐标已知对称轴和另外两点的坐标已知最值和另外两点的坐标两点式（交点式）12()()y a x x x x =-- 二、二次函数的图像 1、二次函数的平移问题（1）、平移的实质：a 相同。

（a 决定二次函数的形状、开口和开口的大小，其中a 决定开口的大小，a 的正负决定开口方向。

注意，两个二次函数的a 相等，则这两个二次函数的形状就是相同的） （2）、平移的规律：顶点坐标的平移。

2、二次函数的对称变换：2222()(+)()(+)y a x m k y a x m k y y a x m k y a x m k x ⎧=-+=+⎨=-+=--⎩与关于轴对称与关于轴对称3、二次函数的图像与,,a b c 及其相关代数式(2,2,4a b c a b b ac ±+±-)之间的关系a aa ⇔>⎧⎨⇔<⎩开口向上开口向下0 0y ab by ab ⇔<⎧⎨⇔>⎩对称轴在轴右侧对称轴在轴左侧00y y c cy y c ⇔>⎧⎨⇔<⎩抛物线与轴的交点在轴正半轴抛物线与轴的交点在轴负半轴 11a b c x a b ca b c x ++=⎧±+⎨-+=-⎩看时函数的值看时函数的值22224044040x b ac b acx b ac x b ac ⎧⇔->⎪-⇔-=⎨⎪⇔-<⎩抛物线与轴有两个交点抛物线与轴有一个交点抛物线与轴没有交点2+1(<1)22221(<1)22b b a b a a a ba b b a b a a ⎧>⎪⎪±⎨⎪->--⎪⎩由--可得注意的正负由--可得例1、（1）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论： ① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ） A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个（2）如图4所示，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，其中－2< x 1<－1，0< x 2<1，下列结论： ①4a －2b +c <0；②2a －b <0；③a <－1；④b 2+8a >4ac 。

其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（3）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则 ①abc0(填“>”或“<”)；②a 的取值范围是三、二次函数的性质①当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大。

它有最底点，所以存在最小值，这个最小值就是当x 取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最小值。

②当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y 随x 增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 增大而减小。

它有最高点，所以存在最大值，这个最大值就是当x 取顶点横坐标，顶点纵坐标的值就是二次函数的最大值。

例2、已知M,N 两点关于Y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线3y x =+上，设点M 的坐标为(,)a b ，则二次函数2()y abx a b x =-++有最大值还是最小值，那最大（小）值是多少？四、二次函数的基本应用1、利润问题例3、（1）、某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月可售出400件，根据销售经验（提高销售单价会导致销售量的减少），即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，如何提高售价，才能在半月内获得最大利润？（2）、某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）。

根据图象提供的信息，解答下列问题：①由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；②求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；③求第8个月公司所获利润是多少万元？（3）、某高科技发展公司投资500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500万元进行批量生产。

已知生产每件产品的成本为40元，在销售过程中发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件，设销售单价x为元，年销售量为y万件，年获利z（年获利＝年销售额－生产成本－投资）万元。

①试写出y与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）②试写出z与x之间的函数关系式；（不必写出的取值范围）③计算销售单价为160元时的年获利，并说明同样的年获利，销售单价还可以定为多少元？相应的年销售量分别为多少万件？④公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元。

请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价（元）应确定在什么范围内？2、距离(长度)问题例4、某施工队要修建一个横截面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽OM=12米,现以O 点为原点,OM所在直线为x轴建立如图的直角坐标系.①请直接写出点M及抛物线顶点P的坐标.②求出这条抛物线的解析式.③施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D在抛物线上,B、C在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木料AB、AD、DC的长度之和的最大值.试问:其最大值是多少?540o 2020104839yx3、过隧道及过桥问题例5、如图所示，隧道的截面是由抛物线和长方形构成的。

长方形的宽是2米，长是8米，抛物线可用表示。

① 一辆卡车高4米，宽2米，它能通过该隧道吗？ ② 如果该隧道内设双行道，那么这辆卡车能通过吗？4、分段函数 例6、（1）、通过实验研究，专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间x （分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表示注意力越集中）.当0≤x ≤10时，图象是抛物线的一部分，当10≤x ≤20和20≤x ≤40时，图象是线段．⑴当0≤x ≤10时，求注意力指标数y 与时间x 的函数关系式；⑵一道数学综合题，需要讲解24分钟．问老师能否经过适当安排，使学生听这道题时，注意力的指标数都不低于36．（2）、王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图乙所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．① 求王亮解题的学习收益量y 与用于解题的 时间x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的 取值范围；② 求王亮回顾反思的学习收益量y 与用于回 顾反思的时间x 之间的函数关系式；③ 王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？（学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量）O O y y x xA2 51图图42（3）、由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖．某经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为0.1万元／台，并预付了5万元押金。

他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低于34万元，但不高于40万元．若一年内该产品的售价y （万元／台）与月次x （112x ≤≤且为整数）满足关系是式：0.050.25(14)0.1(46)0.0150.01(612)x x y x x x ⎧-+≤<⎪=≤≤⎨⎪+<≤⎩，一年后发现实际．．每月的销售量p （台）与月次x 之间存在如图所示的变化趋势． ① 直接写出实际．．．．．．每月的销售量p （台）与月次x 之间的函数关系式； ② 求前三个月中每月的实际销售利润w （万元）与月次x 之间的函数关系式； ③ 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价； ④ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量． 五、二次函数和方程及不等式的相互关系及相互转换函数作为代数援助几何的衍生物，起着一个桥梁作用，因此在解决函数问题时，应该注意数型结合。

作为代数的主体，方程和不等式与函数之间有着密切的联系，解方程不等式问题，从实质上说，是研究相应函数的零点、正负值问题．对于函数()y f x =，它与x 轴交点的横坐标就是方程()0f x =的解，而()y f x =在x 轴上面（下面）的部分所对应的x 的取值范围就是不等式()0f x >（()0f x <）的解集。

对于函数()f x 和()g x ，它们交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解，而不等式()()f x g x >（()()f x g x <）的解集反映在图像上，就是()f x 的图像在()g x 图像上面的部分所对应的x 的取值范围。

例7、（1）、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象 如图所示，根据图象解答下列问题：①写出方程20ax bx c ++=的两个根． ②写出不等式20ax bx c ++>的解集． ③写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． ④写出方程26ax bx c ++=-的实数根：⑤若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，写出k 的取值范围． （2）、阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式：2230x x -->． 解：设223y x x =--，则y 是x 的二次函数．10a =>∴，抛物线开口向上．又当0y =时，2230x x --=，解得1213x x =-=，．∴由此得抛物线223y x x =--的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当1x <-或3x >时，0y >．∴2230x x -->的解集是：1x <-或3x >．①观察图象，直接写出一元二次不等式：2230x x --<的解集是____________； ②仿照上例，用图象法解一元二次不等式：210x ->．（大致图象画在答题卡．．．上） （3）、已知抛物线的部分图象如图1所示。