第四讲 立体图形的体积 基础班
解答：它的体积扩大a×a×a倍． 2．如右图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
解答：圆锥的体积是211624,33，圆柱的体积是248128．
所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243.
3．（第三届华杯赛复赛）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米? 解答：容器的底面积是：(13—4)×(9—4)=45(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是：45×2=90(立方厘米)．
4．（第七届小数报数学竞赛决赛）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米? 解答：把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是：72—6×6=36(平方厘米)，水的体积是：72×2．5=180(立方厘米)，后来水面的高为：180÷36=5(厘米)．
5．用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底，问怎样做才能使这个圆柱形容器的容积为最大?
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10202103000301530215450020分析：若以长方形的长为高时，容器的底面半径为：=（厘米），
容器的容积为：（）（立方厘米）；若以长方形的宽为高时，容器的底面半径为：=（厘米），容器的容积为：（）（立方厘米）。 6．（第二届希望杯第1试）如果一个边长为2厘米的正方体的体积增加208立方厘米后仍是正方形，则边长增加______厘米。 解答：边长为2厘米的正方体的体积是2×2×2=8立方厘米，增加208后是8+208=216立方厘米。因为216=6×6×6，所以边长增加了6-2=4厘米。
提高班 练习四 1．（第三届小数报数学竞赛预赛）一个正方体的棱长扩大a倍，那么它的体积扩大__倍. 解答：它的体积扩大a×a×a倍．
2．有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6厘米、3厘米、2厘米．把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6米和4米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米。（答案以分数形式存在） 解答：放在中水池里的碎石的体积为3×3×0.06=0.54立方米；放在小水池里的碎石的体积为：2×2×0.04=0.16立方米；则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7立方米，现在放到底面积为：6×6=36
平方米的大水池中，则使大水池的水面升高0.7÷36=7360米=700360厘米=17118厘米。
3．如右图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
解答：圆锥的体积是211624,33，圆柱的体积是248128．
所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243.
4．在棱长为3cm的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形（见右图）。求挖洞后木块的体积。
解答：33-12×3×3+2×13=20cm3。
5．（第三届华杯赛复赛）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米? 解答：容器的底面积是：(13—4)×(9—4)=45(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是：45×2=90(立方厘米)．
6．（第七届小数报数学竞赛决赛）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米? 解答：把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是：72—6×6=36(平方厘米)，水的体积是：72×2．5=180(立方厘米)，后来水面的高为：180÷36=5(厘米)．
7．用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底，问怎样做才能使这个圆柱形容器的容积为最大? 22
10202103000301530215450020分析：若以长方形的长为高时，容器的底面半径为：=（厘米），
容器的容积为：（）（立方厘米）；若以长方形的宽为高时，容器的底面半径为：=（厘米），容器的容积为：（）（立方厘米）。 精英班
练习四 1．（第六届“迎春杯”决赛）一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米． 解答：依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48÷4=12(厘米)，于是它的宽与高都等于12÷(2+1+1)=3(厘米)，它的长是3× 2=6厘米．所以这个长方体的体积是6×3×3=54(立方厘米)．
2．如右图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
解答：圆锥的体积是211624,33，圆柱的体积是248128． 所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243.
3．在棱长为3cm的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形（见右图）。求挖洞后木块的体积。
解答：33-12×3×3+2×13=20cm3。 4．（第三届华杯赛复赛）如图，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长为2厘米的正方形，然后沿虚线折叠成长方体容器．这个容器的体积是多少立方厘米?
解答：容器的底面积是：(13—4)×(9—4)=45(平方厘米)，高为2厘米，所以容器的体积是：45×2=90(立方厘米)．
5．（第七届小数报数学竞赛决赛）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米?
解答：把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是：72—6×6=36(平方厘米)，水的体积是：72×2．5=180(立方厘米)，后来水面的高为：180÷36=5(厘米)．
6．用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底，问怎样做才能使这个圆柱形容器的容积为最大?
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10202103000301530215450020分析：若以长方形的长为高时，容器的底面半径为：=（厘米），
容器的容积为：（）（立方厘米）；若以长方形的宽为高时，容器的底面半径为：=（厘米），容器的容积为：（）（立方厘米）。
7．（小学数学奥林匹克决赛）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是 立方厘米．
解答：所成立方体的棱长为：120÷(3+2)÷4=6(厘米)，所以原长方体的体积为：6×6×(6+3+2)=396(立方厘米)。
竞赛班 练习四 1． （小学数学奥林匹克决赛）一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了120平方厘米，原来长方体的体积是 立方厘米． 解答：所成立方体的棱长为：120÷(3+2)÷4=6(厘米)，所以原长方体的体积为：6×6×(6+3+2)=396(立方厘米)。
2．（第六届“迎春杯”决赛）一个长方体的各条棱长的和是48厘米，并且它的长是宽的2倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是______ 立方厘米． 解答：依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48÷4=12(厘米)，于是它的宽与高都等于12÷(2+1+1)=3(厘米)，它的长是3× 2=6厘米．所以这个长方体的体积是6×3×3=54(立方厘米)．
3．如右图，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米．那么，圆锥体积与圆柱体积的比是多少?
解答：圆锥的体积是211624,33，圆柱的体积是248128．所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16:1281:243. 4．（第十届迎春杯刊赛）一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.（结果以分数形式出现） 解答：长方体的高是： (33.66-2.1×2.3×2)÷2÷(2.1+2.3)= 30/11(分米). 长方体的体积是2.1×2.3 × 1130=1101913(立方分米)．
5．（第七届小数报数学竞赛决赛）一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2．5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米．在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁块后，水面没有淹没铁块．这时水面高多少厘米? 解答：把放入铁块后的玻璃杯看作一个底面如右图的新容器，底面积是：72—6×6=36(平方厘米)，水的体积是：72×2．5=180(立方厘米)，后来水面的高为： 180÷36=5(厘米)．
6．在棱长为3cm的正方体木块的每个面的中心上打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1cm的正方形（见右图）。求挖洞后木块的体积。
解答：33-12×3×3+2×13=20cm3。
7．用一块长30厘米，宽20厘米的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底，问怎样做才能使这个圆柱形容器的容积为最大?
22
10202103000301530215450020分析：若以长方形的长为高时，容器的底面半径为：=（厘米），
容器的容积为：（）（立方厘米）；若以长方形的宽为高时，容器的底面半径为：=（厘米），容器的容积为：（）（立方厘米）。
8．（第四届华杯赛复赛）一个正方体的纸盒中，恰好能放入一个体积6．28立方厘米圆柱体，纸盒的容积有多大?(π取3．14)．
解答：圆柱的高与底面直径都等于正方体的边长，即6．28=3．14×边长×22)(边长，所
以3)(边长=14.328.6×4=8，即纸盒的容积是8立方厘米．