2009年普通高等学校招生全国统一考试
自选模块测试（浙江卷）
数学
题号：03
“数学史与不等式选讲”模块（10分）
已知正数x ，y 、z 满足x +y +z =1.
(1) 求证：222222x y z y z z x x y +++++≥13
(2) 求4x +4y +2
4x 的最小值. （1） 证明：因为0,0,0x y z >>>，所以由柯西不等式得
()()()()2222222222x y z y z z x x y x y z y x z x x y ⎡⎤+++++++≥++⎡⎤⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦
又因为1x y z ++=，所以
()()()2222()12222223
x y z x y z y x z x x y y x z x x y ++++≥=++++++ （2） 解：由均值不等式得 22
344434x y x x y x ++++≥因为1x y z ++=，所以 2221331244x y z z z z ⎛⎫++=-+=-+≥ ⎪⎝
⎭ 故23344443432x y x ++≥=当且仅当11,42
x y z ===时等号成立，所以2444x y x ++的最小值为32题号：04
“矩陈与变换和坐标系与参数方程”模块（10分）
在极坐标系中，极点为O.已知一条封闭的曲线C 由三
段圆弧组成: ρ=2cos θ(0≤θ<4
π),
ρ=2sin θ(4π≤θ<2π),ρ=2(2
π≤θ<2π). (1) 求曲线C 围成的区域的面积； (2) 若直线l: ρsin(θ+
4π)=k(k ∈R )与曲线C 恰有两个公共点，求实数k 的取值范围.
（1） 解：如图，设两段小圆弧所在圆的圆心分别为A,C 它们的衔接点为B ,则四边形
OABC 是边长为1的正方形，曲线C 围成的区域面积
2231721111422
S πππ=⋅+⋅+⋅⋅=+ （2） 解：如图，以极点为原点，以极轴x 为轴正半轴建立直角坐标系，其中点M 为圆A
与x 轴正半轴的交点，点N 为圆C 与y 轴正半轴的交点，则
小圆弧¼»,BM
BN 所在的圆方程分别为 ()()222211,11x y x y -+=+-=
大圆弧¼NPM
所在的圆方程为224x y += 直线:sin 4l k πρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
在直角坐标系下的方程为2x y k += 当l 与圆弧¼NPM
相切时，l 的方程为2y x =--当l 过,,M B N 三点时，l 的方程为2y x =-+
当l 与圆弧¼»,BM
BN 都相切时，记l 与曲线C 的切点分别为,E F ,且与x 轴的交点为D .在等腰直角三角形AED 中1,2AE AD ==12OD =+此时l 的方程为12y x =-+因此，要使l 与曲线C 恰有两个公共点，必须2222212k k -<
<=或 即222k -<<或。