＝30° 的光滑斜面上(如图)．
(1)当斜面以加速度a=g/3，沿
如图所示的方向运动时，求绳
中的张力及小球对斜面的正压力．
(2)当斜面的加速度至少为多大时，小球对斜面的正压力为零?
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解（1）取如图所示坐标 由牛顿定律：
X : N sin T cos ma (1) Y : T sin N cos mg 0 (2)
2 v Rg cos 当N=0时，由式（1）得
代入式（3）得： cos
R y 由于： cos R
2 3 R y 3
例题2
如图，一长为 l , 质量为 M 的杆可绕 支点O 转动，一质量为m ，速率为 v0 的子弹，射入距支点为 a 的杆内，并 留在其中 , 若杆的最大偏转角 =300 ， 求子弹的初速率 v0.
（1）
（2）
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v2 法向: m g cos N m R dv dv ds dv 切向： mg sin m m mv dt ds dt ds
（1） （2）
式（2）即： g sin ds vdv
v
再利用 ds Rd
积分 gR sin d vdv 0 0 1 gR (1 cos ) v 2 （3） 2
a l
M
解：此题分两个阶段，第一阶段，子弹射入杆中，摆获得 角速度，尚未摆动，子弹和摆组成的系统所受外力对O 点的力矩为零，系统角动量守恒：
1 a (mv 0 ) 0 ( Ml 2 ma 2 ) 3
(1)
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第二阶段，子弹在杆中，与摆一起摆动， 以子弹、杆和地地球组成的系统除保守 内力外，其余力不作功，于是系统机械 能守恒：
l 其中： h1 (1 cos ) 2
1 1 2 ( Ml ma 2 ) 2 Mgh1 mgh 2 a(1 cos )
由(1)(2)式求得：
2Mgl(1 cos ) / 2 2m ga(1 cos ) Ml 2 / 3 m a2 ( Ml 2m a) g (1 cos ) Ml 2 / 3 m a2
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（2）小球到达A点不脱离轨道，要求小球在A点的速 度vA 和角速度A满足：
2 2 vA vA ag 2 2 m m g v A ag , A 2 2 (4) a b b b<<a 由机械能守恒： 1 1 1 1 2 2 2 mg (2a ) mv A J A mv c J 2 (5) 2 2 2 2
(1)
(2) (3)
a l
(MVc mv) mv0 f t
(M l mv ) mv 0 f t 2
由式(1)和(3):
3a 2l Ml f t 6a
可见：
a 2l / 3 当a 2l / 3 时 a 2l / 3
f 0, 向右 f 0 f 0, 向左
a l
解：设小球打在距O点为 a 处，O点受力f 向右。 由角动量守恒： mv 0 a mva ( 1 Ml 2 ) (1) 3 由动量定理： 即：
(MVc mv) mv0 f t
l ( M mv ) mv 0 f t 2
(2) (3)
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1 mv 0 a mva ( Ml 2 ) 3
此题可否用动量守恒处理？
( Ml 2 / 3 ma 2 )( Ml 2ma )(1 cos ) g
代入（1）式，得：v0
1 ma
例题3 已知质量为M，长为 l 均匀直棒可绕 O 轴转
动，现有质量m 的弹性小球与棒垂直碰撞，试求小
球打在什么位置时， O 点在水平方向受力为零？小 球打在什么范围， O 点在水平方向受力向左？小球 打在什么范围，O点在水平方向受力向右？
即 : 2amg
1 1 2 2 2 m(vc vA ) J ( 2 A ) 2 2
将 vc , vA , , A 和 J 代入上式后得:
189 70 h 189 a , h a 70 27 h a 10 （证毕）
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例题5
将质量为10kg的小球挂在倾角
1 1 2 mgh mv c J 2 (1) 2 2 又由于： 2 vc b , J mb 2 (2) 5 2 1 1 2 m b 有： m gh m b2 2 2 (3) 2 2 5
整理，得：
1 10 10 gh , vc b gh b 7 7
例题4 质量为m，半径为b 的小球，由静止从h高无滑动地
滚下，并进入半径为a 的圆形轨道。
求 （1）小球到达底部时的角速度ω 和质心的速度 v c .
（2）证明如果 b<<a ,要使小球不脱离轨道而到达A点，则 h应满足：
27 h a 10
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解（1）因无滑动，故摩擦力f 不作功（无相对位移），支持 力 N 与运动方向垂直，也不作功，只有重力（保守内力） 作功，所以机械能守恒：
由式（1）（2）可解得： N mg cos masin
T (ma N sin ) / cos
（2）当N=0时，
a g cos / sin g / tan 3g
同学们再见！
经典力学部分
典型题分析
例题1
在半径为 R 的光滑球面的 顶点O处，一质点开始滑落，取 初速度接近于零。试问质点滑 到顶点以下多远的一点时，质 点离开球面? 解：在切向和法向列出牛顿运动定律方程：
v2 法向: m g cos N m R dv dv ds dv 切向： mg sin m m mv dt ds dt ds
