流派
• 美学派认为数学是静谧、深奥和典雅的音 乐,数学语言和符号是理性的音符,数学追求 美,也创造美,数学与艺术结合使美更加灿烂 绚丽。
• 创新说认为数学是不断创新的、无止境的, 每一步创新都是对前人的否定,例如发现无 理数,建立分数积分,创立非欧几何,无一不是 如此。
数学的若干观点
• 过程说认为,数学是实验思维过程+ 归纳抽 象思维过程+ 逻辑论证思维过程。 除此而外,还可列举若干种观点: 数学是最精密的科学, 数学是模式的科学; 数学是一门高级语言; 数学是一种活动; 数学是一种关系; 数学是人类的一种理性精神等等。
数学文化
• 文化的独立性与群体性： • 数学实在独立于个体意识而存在，却完全
依赖于人类意识； • 怀特：数学概念…存在于文化之中，即存
在于人类的行为和传统思想的主体之中。
数学文化
• 对数学文化的认识归根到底对数学本质的 认识。
• 对数学本质的认识是一个动态的认识过程, 既随着数学的发展阶段而发展,也随着各个 阶段人们的认识提高而深入。
数学文化的若干观点
• 从数学哲学史上对数学本质的争论看,可归 纳出三种观点:
• “数学是一门演绎科学”; • “数学是一门拟经验科学”; • 数学是一门演算科学”[5 ] 。 • 以上对数学的种种认识,都未显偏颇,各自从
不同侧面揭示了数学形式的丰富多彩和数 学内容的博大精深。
数学文化
• 数学是一种文化的观点,可以说是数学观 的“现在时态”。
• 在亚里士多德：数学对象就只是一种抽象的存在 也即是人类抽象思维的产物。 争论：数学对象看成一种不依赖于人类思维的独立 存在（发现活动）还是人类抽象思维的产物（数 学的发明创造）。
数学家哈代：我认为数学的实在存在于我们之外， 我们的职责是发现它和遵循它，那些被我们所证 明并被我们夸大为是我们发明的定理，其实仅仅 是我们观察的记录而已。
• 考察人类文明史,数学与文化曾有过三次结 合紧密的鼎盛时期,
• 第一次是毕达哥拉斯(Pythagoras) 学派为代 表的古希腊时期;
• 第二次是以达·芬奇(Da Vinci) 为代表的欧 洲文艺复兴时期;
• 第三次是20 世纪中叶以来,随着科学一体化, 系统化即大科学时代的到来和全球文化讨 论热,数学与文化的关系受到人们相当的关 注。[ 7 ]
数学文化与数学教育
文化
广义地讲：是指人类在历史实践过程中所创造
的物质财富和精神财富的总和
按照这样的理解就应把一切非自然的、也即由
人类所创造的事物或对象都看成文化物，“文化 性”即是明确肯定了相应事物或对象对于人类创 造活动的直接赖性。
数学文化
• 由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是 人类抽象思维事物的产物，因此，数学就是一种 文化。
数学文化
• 诺贝尔奖活动者者物理学家布里奇曼认为： 只要稍微观察一下就能明白，数学是人类 的创造物这一最纯粹的自明之理。
• 卡纳斯与纽曼指出：非欧几何证明数学…. 是人亲手创造的，他仅仅服从思想法则所 设定的限制。
• 任何一种文化成分都是人类思维的产物， 其相对于个个体来说却是由具有相当大的 独立性，以致对各个个体来说，文化就像 自然界一样构成了一种生存环境。
数学即逻辑
罗素说:“逻辑即数学的青年时代,数学即逻辑 的壮年时代。”[4 ] (P30) 数学的概念都可 以借助逻辑概念给出,而数学定理都可以由 逻辑公理原则推出,数学和逻辑是精密科学 的两只眼睛。用两只眼睛去看世界,它比用 一只看得更远、更清楚。数学无穷无尽的 诱人之处在于它的最棘手的悖论能够开出 美丽的理论之花。[3 ] (P9)
• 美国数学家怀尔德(R·L·wilder) 1981年从 数学人类学的角度明确提出了“数学--一种 文化体系”的数学哲学观,他的代表作是 《作为一种文化体系的数学》。[ 6 ] (P247 - 248) ) 怀尔德学说,导致了数学家甚至数学 哲学家对数学文化的关注超过了对数学哲 学研究的趋势。
数学与文化曾有过三次结合紧密的 鼎盛时期,
数学的认识
• 数学是研究现实中数量关系和空间形式的 科学。——恩格斯
• 数学是研究数量关系和空间形式的科学 ——前苏联“数学的内容、方法、意义”
• 数学是研究模式与秩序的科学。 ——“2061”计划
数学的认识
• 数学是科学， • 数学是理论， • 数学是语言， • 数学是工具， • 数学是技术， • 数学是文化， • 数学是伙伴，
• 作为数学观的“过去时态”,我们先回顾一 下历史上几位数学家、哲学家的见解。
阿尔布斯纳特·约翰
• 阿尔布斯纳特·约翰(Arbuthnot ·John) 说:“数学是宗教的朋友,因为数学能唤起热 情而抑制急躁,净化灵魂而使之杜绝偏见与 错误。而且一个人如果要想超脱凡俗而与 世隔绝,那么通过研究数学而去实现这一目 的,显然是一条易获成效而又理想之途 径。”[1 ] (P31) 数学是人们求真、求善、 求美的殿堂。柏拉图有句名言:“几何把我 们的灵魂引导到真理面前。”[ 2 ] (P187)
大哲学家亚里士多德
• 大哲学家亚里士多德说:“新的思想家虽说 是为了其他事物而研究数学,但他们却把数 学和哲学看作是相同的。”数学和辩证法 一样,都是人类高级理性的体现。
波尔达斯·德莫林斯
• 波尔达斯·德莫林斯(Bordas·Demoulins) 说:“没有数学,我们无法看透哲学的深度,没 有哲学,人们也无法看透数学的深度, 而若没 有两者, 人们就什么也看不透视。”[1 ] (P80) 哲学在某种意义上说是望远镜,数学是 显微镜,二者相得益彰。“哲学从一门学科 中退出,那就意味着这门科学的建立,而数学 进入一门学科就意味着这门学科的成 熟。”[ 3 ] (P27)
A·波雷尔说
• A·波雷尔说:“数学是一门艺术,因为它主 要是思维的创造,靠才智取得进展,很多进展 出自人类脑海深处,只有美学标准才是最后 的鉴定者。”[3 ] (P15)数学与艺术只是人 类思维的不同框架,数学的抽象与艺术的抽 象是从不同侧面观察事物,数学强调定量分 析,艺术则偏重于定性感知,可见,数学是智慧 与创造的艺术。