2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）2120lim()1,x x x e ax bx →++=若则（）(A)112a b ==-，(B)1,12a b =-=-(C)1,12a b ==(D)1,12a b =-=【答案】（B ）【解析】220012lim lim 2=x x x x e ax bx eax bx xe e →→++-++=原式00122lim lim 220101=11.2xx x x e axe a x b e e a →→-++=-===-因为分母的极限是为，要使此极限等于常数，则分子的极限比为，则则原式所以（2）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x =(B)()f x x =(C)()cos f x x =(D)()f x =【答案】（D ）【解析】根据导数的定义：（A ）00sin lim lim 0,x x x x x xx x →→⋅==可导；（B）00lim 0,x x →→==可导；（C ）2001cos 12lim lim 0,x x xx x x →→--==可导；（D）000122lim lim ,x x x xx x →→→-==极限不存在，故选D 。

（3）2,11,0(),(),10,()()1,0,0ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-⎧-<⎧⎪==-<<+⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩设函数若在上连续，则（）(A)3,1a b ==(B)3,2a b ==(C)3,1a b =-=(D)3,2a b =-=【解析】10121()()()11010(1)1(0)1lim ()2lim ()1x x ax x F x f x g x x x x b x F a F bF x F x a a b b ++→-→-+-≤-⎧⎪=+=-+-<<⎨⎪-+≥⎩-=+=-=-=-令因为函数连续，故极限值等于函数值1+=-2=-31-=-1=2（4）10()[0,1]()0,f x f x dx =⎰设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,(02f x f '<<当时(B)1()0,(02f x f ''<<当时(C)1()0,()02f x f '><当时(D)1()0,()02f x f ''><当时【答案】（D ）【解析】2111()11()()()(,2222!22f f x f f x x x ξξ'''=+-+-介于之间，故1111220000120111()11()10=()()(((2222!222!2()11()0()0,(0..2!22f f f x dx f f x dx x dx f x dx f f x x dx f D ξξξ'''''=+-+-=+-''''>⇒-><⎰⎰⎰⎰⎰由于所以，应选（5）设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===++⎰⎰⎰则（）(A)M N K>>(B)M K N >>(C)K M N>>(D)K N M>>【答案】（C）【解析】22222222222(1)122=(1.111x x x x M dx dx dx x x x πππππππ---+++==+=+++⎰⎰⎰22222111(0)11x x x x x e x N dx dx M e e πππππ--+++<≠⇒<⇒=<=<⎰⎰2222=11K dx dx Mπππππ-->==⎰⎰（,K M N >>故应选C 。

（6）22021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰（）(A)53(B)56(C)73(D)76【解析】因为积分区域关于y 轴对称，考虑被积函数中xy 是关于x 的奇函数，1是关于x的偶函数，利用二重积分的奇偶性化简得：()21207=112.3x x D Dxy dxdy dxdy dx dx -⎡⎤-===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰原积分（7）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为（）(A)111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B)101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C)111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】（A ）【解析】3110110011011=0001001J E J λλλλλ--⎛⎫ ⎪=-=--= ⎪ ⎪-⎝⎭令，则特征值（-1），123===1.λλλ则特征值为010=1001) 2.000E J r E J λ-⎛⎫ ⎪-=--= ⎪ ⎪⎝⎭当时，，可知（()3123111111=01101110===1.001001A A E A λλλλλλλλ---⎛⎫⎪-=--=-= ⎪ ⎪-⎝⎭选项，令，则由解得()011=1=001 2.000E A e E A λ-⎛⎫ ⎪---= ⎪ ⎪⎝⎭此时当时，，可知101=0111,1,1.=1) 1.001B B B r E B λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.001C C r E C λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭C选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（101=0111,1,1.=1) 1.D D D r E D λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪选项，令，则同理显然可知矩阵所有的特征值为当时，（E A E J --由于矩阵相似，则相关矩阵与也相似，则r(E-A)=r(E-J).可知答案选A 。

（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（）(A)()(),r A AB r A =(B)()(),r A BA r A =(C)()()(){},max ,r A B r A r B =(D)()(),T T r A B r A B =【答案】（A）【解析】(,)(,)().C AB C A r A C r A AB r A ===设，则可知的列向量可以由的列向量线性表示，则二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=【答案】1【解析】()2lim arctan 1arctan x x x x →+∞+-⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()2223322223223422222arctan 1arctan =lim 111111lim 111=lim 21111111lim 211112lim 2111121lim 211111x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞+--+++=-⎛⎫- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎡⎤++-+⎣⎦=⎡⎤+++⎣⎦+=⎡⎤+++⎣⎦+=⎡⎛⎫⎛⎫+++⎢ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎣1221⎤⎥⎥⎦=⨯=（10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是【答案】43y x =-【解析】22y x x'=-()2222=01,1,(1)1,1(1)22414(1),43y x x x xy y x y x ''=-⇒===-'=+=-=-=-舍拐点切线方程：即（11）25143dx x x +∞=-+⎰【答案】1ln 22【解析】255511111(()43(1)(3)213dx dx dx x x x x x x +∞+∞+∞==---+----⎰⎰⎰[]55111=()ln(1)ln(3)()(ln )223141()(0ln )ln 2222x x x x +∞+∞-----==--=--= （12）33cos 4sin x t t y tπ⎧==⎨=⎩曲线，在对应点处的曲率为【答案】23【解析】2211sin 3sin cos tan 3cos (sin )cos dy dy t t t t dx dx dt t t t dt==⋅==--22222242244332222()1sec 1(sec cos 3cos (sin )3cos sin 3cos sin 1,463)2224422333(1)(1(1))t t d dy d y d dy t dt dx t t dx dx dx dx t t t t t t dt dy d y t dx dx y K y πππ=====-⋅==⋅-⋅==-=''==='++-时，（13）()1,ln ,1(2,)2z z z x y z e xy x -∂=+==∂设函数由方程确定则【答案】14【解析】112,ln ,12z x y z e xy z -==+==将代入得到x 两边对求偏导，得到11z z z -∂∂。