事件 { : I A ( ) 0} A
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应用随机过程讲义 第一讲
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用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算
min( a , b ) a b ,取下端 max( a , b ) a b ,取上端
I A B ( ) I A ( ) I B ( ) I A B ( ) I A ( ) I B ( ) 若 A B , 则 I A－ B ( ) I A ( )－ I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) A B I A ( ) I B ( ) ，
应用随机过程
清华大学数学科学系
林元烈 主讲
教材：《应用随机过程》（第三次印刷）
林元烈，清华大学出版社
学习要求
• 不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想 • 学会把抽象的概率和实际模型结合起来
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学习重点
1. 用随机变量表示事件及其分解——基本理 论
2. 全概率公式——基本技巧
2 .几何概型
P(A)
A 点集的面积 点集的面积
隐含了等可能条件
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概率是满足 1) 非负性； 2) 归一性； 3) 可列可加性； 的集函数。
可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的 点集即为可测集；反之称为不可测集。
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事件的关系与运算
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事件序列 { A, n 1}
若 An An1 , 称之为单调不减序列。
n 1
An
lim
n
An
若 An1 An , 称之为单调不增序列。
n 1
An
lim
n
An
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(
n 1 k n
Ak
)
lim
5. P (A B ) P (A ) P (B ) P (A )B
6. 若 A B ,则 P (A )P (B )
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7. Ak,1kn,n2,
n
n
P( Ak) P(Ak) P(AiAj) P(AiAjAk)
k1
k1
1ijn
1ijn
.. . (1)n1P(A1A2..A .n)
8. 可列次可加性
P(Ak)P(Ak)
k1
k1
9. 概率连续性
若{An,
n
P(An)
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这部分的详细讨论可以参见
《随机数学引论》
林元烈，清华大学出版社
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• Buffon试验：最早用随机试验的方法求 某个未知的数。
以上集类和A生成相同的σ-代数,都是上面提到的一 维Borelσ-代数，即
( )( k )( 1 , k 5 )
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• 直观地说，()中包含一切开区间，闭区间，
半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及 由它们经可列次并交运算而得出的集类。
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概率的性质
1. P()0
显然＝ 有 ..， .P()P(), k1
由概率非负性即得
2. P(A)1P(A)
3. 有限可加性
由P() 0及完全（可列）可即加得性
若A1,A2,..A.n,且AA ＝(ij),则
n
n
P(Ak)P(Ak)
k1
k1
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4. A, B P(A \ B) P(A) P(AB) 若B A P(A B) P(A) P(B)
n
An
lim n
sup
An
(
n 1 k n
Ak )
lim
n
An
lim n
inf
An
如果
lim
n
An
lim
n
A
，
n
则定义
lim
n
An
lim
n
An
lim
n
An .
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示性函数
1, A I A ( ) 0, A
是最简单的随机变量
事件 { : I A ( ) 1} A 用随机变量来表示事件
概率空间 ( , , P )
：集合，样本空间 ：集类， 代数 P ：完全可加的集函数， A ： 的元素，事件 P ( A )：事件的概率
概率
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1 .古典概型
A
P(A)
(A) ( )
A 中的样本点数目 中的样本点数目
隐含了等可能条件
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公理化定义
集类 粗略地说 ，的由子集作为元素的构集成合的 称为集类。 {,}是最简单的集类。
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No Image
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概率
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3. 数学期望和条件数学期望——基本概念
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第一讲
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随机事件与概率
随机试验
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要点：
• 在相同条件下，试验可重复进行；
• 试验的一切结果是预先可以明确的，但每 次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结 果。
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样本点 对于随机试验E，以ω表示它的一个可能 出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。
样本空间 样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。 Ω ＝{ω}
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随机事件 粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，
用大写英文字母A、B、C等来表示。
• 测度：满足非负性、可列可加性的集函 数。
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设集类 {[a,b],a,bR,ab}
则由 生成的代数( ) 称为 一维Bore l 代数.
，称为一维Bore可 l 测集.
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实际上，设集类
1＝ {a [,b)a ,,bR,ab} , 2＝ {a (,b]a ,,bR,ab}, 3＝ {a (,b)a ,,bR,ab} , ＝ {r(1,r2)r,1,r2为有}理 , 5＝ {G:G 为 R中开 } 集