二次函数知识点总结及典型题目一.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 二次函数的图象是抛物线,所以也叫抛物线y=ax2+bx+c ;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界,一半图象上坡,另一半图象下坡;其中c 叫二次函数在y 轴上的截距, 即二次函数图象必过(0,c )点.二.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点;②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =)(0≠a . y=ax2 (a ≠0)可以经过补0看做二次函数的一般式,顶点式和双根式,即: y=ax2+0x+0, y=a(x-0)2+0, y=a(x-0)(x-0).例题精析:1. 二次函数的概念,二次函数y =ax 2 (a ≠0)的图象性质二次函数的一般式为y =ax 2+bx +c(a ≠0)。
强调a ≠0.而常数b 、c 可以为0,当b ,c 同时为0时,抛物线为y =ax 2(a ≠0)。
此时,抛物线顶点为(0,0),对称轴是y 轴,即直线x =0。
例:已知函数4m m 2x )2m (y -++=是关于x 的二次函数,求:(1)满足条件的m 值;(2)m 为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点.这时当x 为何值时,y 随x 的增大而增大? (3)m 为何值时,函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时,y 随x 的增大而减小? 解: (1)使4m m 2x)2m (y -++=是关于x 的二次函数,则m 2+m -4=2,且m +2≠0,即:m 2+m -4=2,m +2≠0,解得;m =2或m =-3,m ≠-2 (2)抛物线有最低点的条件是它开口向上,即m +2>0, (3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下,即m +2<0。
练习:已知函数mm 2x)1m (y ++=是二次函数,其图象开口方向向下,则m =_____,顶点为_____,当x_____0时,y 随x 的增大而增大,当x_____0时,y 随x 的增大而减小。
2、用配方法求抛物线的顶点,对称轴;抛物线的画法,平移规律抛物线的一般式与顶点式的互化关系:y=ax2+bx+c———→y=a(x+b2a)2+4ac-b24a平移规律如下图:练习:(1)抛物线y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位。
再向上平移3个单位,得抛物线y=x2-2x+1,求:b与c的值。
(2)通过配方,求抛物线y=12x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标,再画出图象。
3.知识点串联,综合应用。
例:如图,已知直线AB经过x轴上的点A(2,0),且与抛物线y=ax2相交于B、C两点,已知B点坐标为(1,1)。
(1)求直线和抛物线的解析式;(2)如果D为抛物线上一点,使得△AOD与△OBC的面积相等,求D点坐标。
点评:(1)直线AB过点A(2,0),B(1,1),代入解析式y=kx+b,可确定k、b,抛物线y=ax2过点B(1,1),代人可确定a。
求得:直线解析式为y=-x+2,抛物线解析式为y=x2。
(2)由y=-x+2与y=x2,先求抛物线与直线的另一个交点C的坐标为(-2,4),S△OBC=S△ABC-S△OAB=3。
∵S△AOD=S△OBC,且OA=2∴D的纵坐标为3又∵D在抛物线y=x2上,∴x2=3,即x=± 3 ∴D(-3,3)或(3,3)练习:函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点A(1,b),求:(1)a和b的值;(2)求抛物线y=ax2的顶点和对称轴;(3)x取何值时,二次函数y=ax2中的y随x的增大而增大,(4)求抛物线与直线y=-2两交点及抛物线的顶点所构成的三角形面积。
课堂作业一、填空。
1.若二次函数y=(m+1)x2+m2-2m-3的图象经过原点,则m=______。
2.函数y=3x2与直线y=kx+3的交点为(2,b),则k=______,b=______。
3.抛物线y =-13(x -1)2+2可以由抛物线y =-13x 2向______方向平移______个单位,再向______方向平移______个单位得到。
4.用配方法把y =-12x 2+x -52化为y =a(x -h)2+k 的形式为y =__________________,其开口方向______,对称轴为______,顶点坐标为______。
二、选择。
1.函数y =(m -n)x 2+mx +n 是二次函数的条件是( ) A .m 、n 是常数,且m ≠0 B .m 、n 是常数,且m ≠n C. m 、n 是常数,且n ≠0D. m 、n 可以为任意实数2.直线y =mx +1与抛物线y =2x 2-8x +k +8相交于点(3,4),则m 、k 值为( )A .⎩⎨⎧m =1k =3B .⎩⎨⎧m =-1k =2C. ⎩⎨⎧m =1k =2D. ⎩⎨⎧m =2k =13.下列图象中,当ab >0时,函数y =ax 2与y =ax +b 的图象是( )三、解答题 1.函数(1)当a 取什么值时,它为二次函数。
(2)当a 取什么值时,它为一次函数。
3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=,. 5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2;⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素:开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0<a 时,开口向下;a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴(或重合)的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法:a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx 2-=. (2)配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为(h ,k ),对称轴是直线h x =.(3)运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故:①0=b 时,对称轴为y 轴;②0>ab(即a 、b 同号)时,对称轴在y 轴左侧;③0<ab(即a 、b 异号)时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0,c ): ①0=c ,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴;③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则 0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象及几个重要点的公式:二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0)中,a 、b 、c 与Δ的符号与图象的关系:(1) a >0 <=> 抛物线开口向上; a <0 <=> 抛物线开口向下;(2) c >0 <=> 抛物线从原点上方通过; c=0 <=> 抛物线从原点通过;c <0 <=> 抛物线从原点下方通过;(3) a, b 异号 <=> 对称轴在y 轴的右侧; a, b 同号 <=> 对称轴在y 轴的左侧;b=0 <=> 对称轴是y 轴;(4) Δ>0 <=> 抛物线与x 轴有两个交点;Δ=0 <=> 抛物线与x 轴有一个交点(即相切); Δ<0 <=> 抛物线与x 轴无交点.11.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式:c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. (2)顶点式:()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.(3)交点式:已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式:()()21x x x x a y --=.12.直线与抛物线的交点(1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交;②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切; ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.(5)一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点;③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.(6)抛物线与x 轴两交点之间的距离:若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021,,,x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=-=-=444222122122121例题精析1、用待定系数法确定二次函数解析式. 例:根据下列条件,求出二次函数的解析式。