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二次函数的最值问题（一）
【课题】二次函数的最值问题
_____ 分校______年级 讲师：_____ 授课时间：____年____月___日
【学习目标】
1、
二次函数多与线段长度最值，多边形的周长，面积最值结合综合考查
2、掌握分类讨论思想，数形结合思想在二次函数中的应用
3、学生应具备基本的计算能力，待定系数法求解析式的步骤，利用参数发表示长度或面积
的表达式。
【知识回顾】
1、表示图形面积的方法：直接代公式，分割法、补全法等。
2、常用到的公式：两点坐标距离公式，中点坐标公式。
3、线段最短问题涉及到的知识点是做对称
【新知点击】
考点一 最大（小）值何处取得：

（1）二次函数的一般式cbxaxy2(0a)

化成顶点式abacabxay44)2(22，
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．

即当0a时，函数有最小值，并且当abx2，abacy442最小值；
当0a时，函数有最大值，并且当abx2，abacy442最大值．
（2）如果自变量的取值范围是21xxx，如果顶点在自变量的取值范围21xxx内，

则当abx2，abacy442最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取
值范围内的增减性；如果在此范围内y随x的增大而增大，则当2xx时，
cbxaxy
222
最大

，当1xx时，cbxaxy121最小；

如果在此范围内y随x的增大而减小，则当1xx时，cbxaxy121最大，当2xx时，
2

cbxaxy
222
最小

．

【典型例题1】求函数322xxy的最值．

【对点演练1】已知当-2≤x≤1时，二次函数1)(22mmxy有最大值4，求m的
值.

考点二 二次函数中线段或多边形周长最值问题
1、利用对称求线段之和最小或三角形周长最小问题
【典型例题2】抛物线y=－x2+2x+3与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的负半轴上，抛物
线与y轴交于点C
（1） 求A、B两点的坐标；
（2） 在抛物线的对称轴上是否存在点P使PA+PC的线段和最短，求出点P的坐标并求出
此时的最短线段。

【对点演练2】如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且
A
（一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
⑵点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，m
的值．

2、利用对称求线段之差最大问题

2
1
3

【典型例题3】如图,设直线l2：y= -2x+8与x轴相交于点N，与直线l1相交于点E（1，a），
双曲线y=xk(x＞0)经过点E，且与直线l1相交于另一点F(9,32) .
(1)求双曲线解析式及直线l1的解析式；
(2) 点P在直线l1上，过点F向y轴作垂线，垂足为点B，交直线l2于点H，过点P向x轴
作垂线，垂足为点D，与FB交于点C.请直接写出当线段PH与线段PN的差最大时点P
的坐标。

【对点演练3】如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底
AD
在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为y轴上任意一点，当点P到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点P的坐标；

（3）点M为y轴上任意一点，当CMAM的值最大时，求此时点M的坐标；并求
CMAM
的最大值。

3、因动点产生的线段最值问题

E
N
P
B
F

M
O
D

C
x

A
y
H

x
y
C B
_ D
_ A
O
4

【典型例题4】如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，
动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，
连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

【对点演练4】二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、
B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB
于点M，求MN的最大值。

【课堂升华】
【答记者问】
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【学以致用】
1、如图1，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°, ∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE
上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A. 100° B．110° C. 120° D. 130°

2、如图2，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对
角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A．23 B．26 C．3 D．6
3、如图3，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N
分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_ ___．

图1 图2 图3
4、（2015•莱芜）如图，在矩形ABCD中，AB=2a，AD=a，矩形边上一动点P沿A→B→C→D

的路径移动．设点P经过的路径长为x，2PD=y，则下列能大致反映y与x的函数关系的
图象是（ ）

A． B． C． D．
5、（2015•威海）如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作
DE△AC，交BC于E点；过E点作EF△DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为
y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（ ）
6

A． B． C． D．
6、如图，二次函数的图像经过点，且与轴交于点
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明：（其中是原点）；
（3）若是线段上的一个动点（不与、重合），过作轴的平行线，分别交
此二次函数图像及轴于、两点，试问：是否存在这样的点，使？若存在，
请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

7、如图，已知抛物线212yxbxc与x轴交于A (－4,0) 和B(1,0)两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF面
积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P点
运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．

cbxxy
2
4

1

4,4,0,4BA
y
C

CAOBAOO
PABABP
y
x
Q
H
P

QHPH2

P
7
8、
如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是
线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
请说明理由；

9、如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连
接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：
（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否
存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每
秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E
的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
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