2011北京大学高等代数与解析几何考研题
1.判断是非,并陈述理由(40分,每题各4分)
(1)A 是一个秩为5的矩阵,A 的3、4行线性无关,1、3列也线性无关,那么A 的行列式的一个2阶子式A(3,4;1,3)不等于0
(2)Ax=0的解唯一,则Ax=b 的解也唯一
(3)
(4)非零线性变换A,在某组基上的矩阵的对角线上元素均不为0,则A 必有非0特征根
(5)线性变换σ及其共轭转置*σ,证明ker *σσ=ker σ
(6)
(7)13阶线性空间必有10阶不变子空间.
(8)对任意的n,存在多项式p(x)在有理数域上不可约.
(9)对角线上元素均不相等的上三角矩阵必可对角化
(10)A 是域F 上的矩阵,且A 可逆,则必存在F 中的数011,,,n a a a -,使得1210121
n n A a I a A a A a A ---=++++ 2.给出4阶矩阵A = 110
0010200120
001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (1)求矩阵的最小多项式.
(2)求15A
(3)求A 的Jordan 标准型 (4)定义 []1,n i i i i Q A a A a Q =⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭
∑，求这个线性空间的维数。

3.二次型()222
123123122331,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++ (1)求()123,,T
f x x x X AX =的矩阵A,特征值,特征向量 (2)A=CDC'要求求C 为正交矩阵D 为对角矩阵，求C 、D 。

(3)在单位球2221231x x x ++=上求二次型()123,,f x x x 的最大最小值
4.同构空间的维数:
设域F 上线性空间W,U,V.他们分别是r,s,t 维的. σ为W 到U 上的线性映射,f 属于Hom(W,U) 证明(1)dimHom(W,U)=rs
(2)设*
σ为Hom(W,U)到Hom(W,V)上线性映射.则存在单射σ,使 ()()*f w fw σσ=, 其中w W ∈。