边界条件：
v | x0 v | x h 0 v | x h 0
(38)
(42)
得：
si n h si n x (h x ) cosh v (x ) si n h h cosh si n x M (x ) P si n h h cosh
2
0

L
0
dy d dx 0 dx dx
(25)
式中：L－两锚碇间的水平距离 式(25)中第三项进行分部积分，并利用x=0和x=L时=0的边界条件，有：
2.悬索桥的近似分析(续)

L 0
dy d dy dx dx dx dx
L 0

L
0
d2y 8f dx dx2 l2
3.主塔的计算(续)
图14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模式。 塔顶作用着主缆竖向分力 p ，活载或其它荷载引起 的塔顶水平位移、加劲梁传来的集中力R，塔身受 有塔自重、顺桥向风载或其它广义纵向纵向荷载， 用带有几何非线性的平面杆系程序，可以直接对塔 进行分析。 为了定性分析，将塔自重集中于塔顶，讨论等截面 塔在活载作用下的受力情况。x处的弯矩为：
直接作用于塔身的自重、风荷、地震荷载、温 变荷载；由主缆传来的荷载 , 它一方面改变加 劲梁和主缆传至塔上的竖向荷载，另一方面将 在塔顶产生顺桥向和横桥向的水平位移，当两 根主索受力不一致时，主塔还会受扭。 工程中桥塔的设计流程如图示，下面结 合设计流程逐一介绍主塔在纵向和横向 荷载作用下的静力计算和稳定计算。
dx
0
L
(26)
代入式(25)整理后得：
Ec Ac 1 L Hp ( dx tLt ) Lp 0
Hp EC AC
1
(27)

L
0
L L dy d dx dx t dx 0 3 2 0 0 cos cos dx dx
d2y 8f 2 2 , dx l Lt sec 2 dx,
0 L
Lp
L
0
sec dx,
3
(28)
式中： 为线胀系数；t为温度变化；ECAC为主缆轴向刚度。
2.悬索桥的近似分析(续)
最后，非线性微分方程要通过(23)和(27)两式迭代才能求解，
尚达不到实用计算的要求。针对大跨径悬索桥活载远比恒载
为小的特点，Godard提出了在式(23)中只考虑恒载索力对竖 向荷载的抗力，形成了线性挠度理论。此时线性叠加原理和 影响线加载均可应用，使计算得到了简化。李国豪教授在此 基础上于1941年提出了等代梁法和奇异影响线的概念，揭示 了悬索桥受力的本质，使挠度理论变为实用计算成为可能。 下面对等代梁法作一简要介绍。 应该指出：线性挠度理论忽略了竖向荷载本身引起的主缆水
4) 由自由悬挂状态下的缆长扣除主缆自重产生的弹性伸长， 得到主缆无应力长度。以中跨为例，说明成桥状态的计算。
2.悬索桥的近似分析(续)
2.2 加劲梁在竖向荷载作用下的近似分析
悬索桥加劲梁先铰接后固结的施工特点，决定了加劲梁 在一期恒载作用下没有整体弯矩。 加劲梁竖向荷载主要指二期恒载和活载等.如图所示。 假定:忽略梁体剪切变形、吊杆的伸缩和倾斜变形对结构 受力的影响，将离散的吊杆简化为一连续膜。微小索段 的平衡方程为： d2y (18) H q 2 q dx
3.主塔的计算(续)
3.2 主塔在纵向荷载作用下的实用计算
纵向荷载是指顺桥向的风荷载、地震荷载、加劲梁和主缆传到 主塔的活载等。 在活载作用下，桥塔将发生水平位移，由于主塔纵向抗推刚度 相对较小，塔顶水平位移的大小，主要是由主缆重力刚度的水 平分量决定，而与塔的抗弯刚度关系不大。 活载计算中常忽略塔的弯曲刚度，先求出主塔水平位移，再将 它作为已知条件计算主塔内力。 在计算中，必须考虑两种加载状态： 最大竖向荷载与相应塔顶位移状态； 最大塔顶位移与相应竖向荷载状态。 一般来说，后一种状态可能更为不利。
几种计算理论的基本假定
弹性理论
（1）悬索为完全柔性，吊索沿跨密布； （2）悬索线性及座标受载后不变； （3）加劲梁悬挂于主缆，截面特点不变；仅有二期 恒载、活载、温度、风力等引起的内力。
计算结果：悬索内力及加劲梁弯距随跨经 的增大而增大。
几种计算理论的基本假定
挠度理论 与弹性理论不同之处仅在于：考虑悬索竖向变形 对内力的影响（不考虑剪力变形、吊杆倾斜及伸缩 变形，影响较小）。 线性挠度理论：忽略挠度理论中活载引起的主缆水 平分力与竖向位移之间的非线性关系。 计算结果：加劲梁弯距铰弹性理论结果要小。
成桥状态近似计算作如下基本假定：
1) 主缆为柔性索，不计其弯曲刚度；
2) 加劲梁恒载由主缆承担； 3) 在主缆吊梁段，主缆、索夹、吊杆和加劲梁自重都 等效为沿桥长均布的荷载q；在无梁段，主缆自重沿 索长均匀分布。
2.悬索桥的近似分析(续)
2.1 成桥状态的近似计算法
主缆设计计算步骤：
1) 导出主缆成桥态的线形、张力以及几何长度的计算公式； 2) 扣除加劲梁恒载作用下主缆产生的弹性伸长量，得到主缆 自由悬挂态的缆长，即自重索长； 3) 在索鞍两边无应力索长不变的情况下，用主缆在空挂状态 塔顶左、右水平力相等的条件求索鞍预偏量；
d2 d 2 (EI 2 ) q( x ) p( x ) q q p 2 dx dx
设EI为常数，将(22)代入(20)整理得：
(22)
d 4 d 2 d2y EI 4 (H q H p ) 2 p (x ) H p 2 dx dx dx
式(23)就是挠度理论的基本微分方程。
有限位移理论 综合考虑各种非线性因素的影响，适于大跨径。
1.概述(续)
悬索桥设计的计算内容
精确合理地确定悬索桥成桥内力状态与构形； 合理确定悬索桥施工阶段的受力状态与构形，以期 在成桥时满足设计要求； 精确分析悬索桥运营阶段在活载及其它附加荷载作 用下的静力响应； ★ 悬索桥的设计计算要根据不同的结构形式、不同的 设计阶段、不同的计算内容和要求来选用不同的力 学模式和计算理论。基本上以计算主缆为主。
M (x ) Fx P ( v (x ))
(37)
式中： F使塔顶位移达到时的水平力。对于 给定的悬索桥，通过缆梁体系分析可以求得 p 和，这里假定为一已知常量。
纵向载作用下桥塔 的计算模式
3.主塔的计算(续)
由塔的弯曲平衡微分方程：
EIv (x ) M (x ) 0
1.概述(续)
悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有 着密切联系
早期，结构分析采用线弹性理论(由于桥跨小，索自重较 轻，结构刚度主要由加劲梁提供。 中期(1877), 随着跨度的现代悬索桥分析采用有限位移理论的矩阵位移法。
跨度不断增大的同时，加劲梁相对刚度不断减小，线性挠度理 论引起的误差已不容忽略。因此，基于矩阵位移理论的有限元方 法应运而生。 应用有限位移理论的矩阵位移法，可综合考虑体系 节点位移影响、轴力效应，把悬索桥结构非线性分析方法统一到 一般非线性有限元法中，是目前普遍采用的方法。
悬索桥各部分的作用
主缆是结构体系中的主要承重构件，受拉为主；
主塔是悬索桥抵抗竖向荷载的主要承重构件，受压为主； 加劲梁是悬索桥保证车辆行驶、提供结构刚度的二次结构， 主要承受弯曲内力； 吊索是将加劲梁自重、外荷载传递到主缆的传力构件，是 连系加劲梁和主缆的纽带，受拉。 锚碇是锚固主缆的结构，它将主缆中的拉力传递给地基。
4
(33)
式中：c ，d分别为索、梁横向风荷集度；l，EI分别为悬 索桥跨径和梁横向抗弯刚度；H为主索水平拉力。
2.悬索桥的近似分析(续)
根据索面刚性转动的假定，有：
f c h d
(34)
式中： f，h分别为主缆的矢高，加劲梁形心到吊点距离。 由式(33)、(34)得：
fl 2 H d 9.6EIh c q fl 2 H 9.6EIh
水平静风荷载作用下的悬索桥
2.悬索桥的近似分析(续)
这种方法假定横向风荷在加劲梁和主缆间产生的重分配力 (实质上就是吊杆沿梁长每延米的水平分力)为沿梁长的均布 荷载 q ，索面和梁体在位移时保持刚性转动。于是，加劲梁 和主缆跨中的水平位移d和c可写成：
5l d ( d q) 384EI c q 2 c l 8H
EI ( d q( x)) 4 dx 4 d c ( x) H ( q ( x )) c dx 2 d 4 b ( x)
(36)
q(x)是一个未知荷载，可以根据梁、塔的位移协调条件，通 过迭代计算求解。
3.主塔的计算
3.1 受力特点
悬索桥主塔承受的主要荷载有:
2.悬索桥的近似分析(续)
悬索桥计算模型
在成桥后竖向荷载p(x)作用下，荷载集度由q变为qp，外力作用下主缆和 加 劲 梁 产 生 挠 度 ， 主 缆 挠 度 由 y 变 为 (y+) ， 主 缆 水 平 拉 力 Hq 变 为 (Hp+Hq)，根据式(18)有：
d2y d 2 d2y H p 2 (H p H q ) 2 q p H q 2 dx dx dx
将(18)、(19)两式相减得：
(19)
d2y d 2 H p 2 ( H p H q ) 2 (q p q ) dx dx
(20)
2.悬索桥的近似分析(续)
以加劲梁为研究对象，在p(x)作用下加劲梁上的竖向荷载为：
q(x)=p(x)-（-q＋qp）
加劲梁的弹性方程为：
(21)
(35)
将式 (35) 得到的 q 值代回式 (33) ，就可算出加劲梁和主缆的 横向静风响应。
2.悬索桥的近似分析(续)