八年级上册
第一章 勾股定理
1、勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即
222c b a =+.
我国古代把直角三角形中较短直角边称为勾，较长直角边称为股， 斜边称为弦，因此把此定理称为勾股定理.
几何语言：在Rt△ABC 中，△C =90°，由勾股定理得: 2
22c b a =+
(
常见书写：2
22222a c b b c a b a c -=-=+=或或)
注意：勾股定理只适合于直角三角形；用勾股定理时要分清直角边和斜边.
辨识应用：在Rt△ABC 中，△A =90°，由勾股定理得:
2
22a b c =+
2、勾股定理证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变， ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理. 常见方法如下：
内弦图模型：△4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，
即：221
4()2
ab b a c ⨯+-=，
∴化简得：2
22c b a =+．
外弦图模型：△大正方形小正方形△S S S =+4，
即：()22
2
14b a c ab +=+⨯，
△化简得：2
2
2
c b a =+．
总统模型：∵1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211
2S 222
ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，
△化简得：2
2
2
c b a =+．
拓展归纳：以直角三角形三边向外作正方形、等边三角形、半圆、等腰直角三角形所得图形面积满足：321S S S =+
c
b a
H
G F E
D
C
B A a
b
c
c b
a
E
D C B A
b
a
c
b
a
c c
a
b
c
a
b
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：在△ABC 中，若计算得2
2
2
c b a =+， △△ABC 是直角三角形，△C =90°
要点诠释：
勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：
（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；
（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形
（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）.
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）.
4、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数
②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；
2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）
5、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关.
6、勾股定理与勾股定理逆定理的应用
（1）圆柱中的最短问题（立体图形转平面图形）
①、瘦高型：在Rt△ABC 中，22BC AC AB += ②、矮胖型：最短=AD +BD
注：计算此类问题，当无法判断时候，可以两种都计算比较，最后写出最短路径.
（2）长方体中的最值问题
①若a＜c＜b，那么表面A到B的最小距离为：
()2
2b
=
+
c
d+
a
②内部A到B的最小距离为：
2c
2
2
+
d+
=
a
b
（3）折叠中的方程问题
例：在矩形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，将△AD E沿AE折叠使
得点D落在边BC上的点F上，求CE的长
分析：设CE=x cm，其他线段用x表示，在Rt△CEF中，不难用勾
股定理得到一个关于x的方程，从而求出未知数.
第七章 平行线的证明
一、命题、定理、证明 1、命题的概念
判断一件事情的语句，叫做命题. 理解：命题的定义包括两层含义：
（1）命题必须是个完整的句子； （2）这个句子必须对某件事情做出判断. 每个命题都是由条件和结论构成，命题通常写出“如果……那么……”的形式，其中如果引出条件，那么引出结论.
2、命题的分类（按正确、错误与否分） 真命题（正确的命题） 命题
假命题（错误的命题）
所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题. 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题.
举反例：在说明一个命题是假命题，举一个满足条件不满足结论的例子，就叫作举反例.
3、公理
人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理. 北师大版选取九条基本事实作为证明的出发点和依据作： （1）两点确定一条直线； （2）两点之间线段最短；
（3）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （4）同位角相等，两直线平行；
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； （7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； （8）三边分别相等的两个三角形全等；
（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
除开上述公理以为：数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.
例如：
4、定理
用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. 5、证明
判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明. 6、证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
()
等式性质c b c a b a +=+∴= ()
等量代换c a c b b a =∴==,
已学定理：
（1）同角（等角）的补角相等. 几何语言：
（2）同角（等角）的余角相等.
几何语言：
（3）三角形的任意两边之和大于第三边. 几何语言：
（4）对顶角相等. 几何语言：
2、平行线的性质与判定
（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行.同位角相等，两直线平行.
几何语言：△△1=△4，
△a △b.
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行.简称：内错角相等，两直线平行.
几何语言：△△3=△4，
△a △b.
（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行.
几何语言：△△4+△2=180°，
△a △b.
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
几何语言：△a △b ，c △b,
311803118021∠=∠∴︒=∠+∠︒=∠+∠， 31421804318021∠=∠∴∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠，， 3190319021∠=∠∴︒
=∠+∠︒=∠+∠， 314290439021∠=∠∴∠=∠︒=∠+∠︒=∠+∠，， .,,c b a c b a ABC ＞是边长，那么中，在△+2
121∠=∠∴∠∠是对顶角与
△a△c.
4、平行线的性质
（1）两直线平行，同位角相等.
几何语言：△a△b，
△△1=△4.
（2）两直线平行，内错角相等.
几何语言：△a△b，
△△3=△4.
（3）两直线平行，同旁内角互补.
几何语言：△a△b，
△△4+△2=180°.
4、三角形的内角和定理及推论
（1）三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
几何语言：△在△ABC中，
△△A+△B+△C=180°.
证明方法：构造辅助线（过一顶点作对边平行线），通过平行把角
搬运到一平角.
（2）推论（由一个基本事实或定理直接推到出的定理）：
△三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

几何语言：△在△ABC中，
△△CBD=△A+△C.
△三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

几何语言：△在△ABC中，
△△CBD＞△A，△CBD＞△C.
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。