解：tan(- -180 ) tan[-( 180 )] - tan( 180 ) - tan
cos(-180 ) cos[-(180 - )] cos(180 - ) - cos
所以， 原式 - cos sin - cos (- tan )(- cos )
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公式四
r 1
sin y cos x
sin( - ) y
tan y
x
cos( - ) - x
tan( - ) y - y
-x x
公式四
-
sin( - ) sin
cos( - ) - cos
tan( - ) - tan
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tan y
x
cos(- ) x
tan(- ) - y - y
xx
-
公式三
sin(- ) - sin
cos(- )பைடு நூலகம் cos
tan(- ) - tan
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探究三
sin( ) - sin sin(-) - sin
探究四：作P（x,y)关于直线 y x 的对称点P1,
y P(x,y)
以OP1为终边的角 与角 有什么关系？角 与角
α
- P1(y,x)
2
O
x
的三角函数值之间有什么关系？
y=x
2k ( - ), (k Z )
2
P1( y, x)
cos sin( - )
2
sin cos( - )
2
例3 证明 :
1
sin
3
2
-
- cos;
2
cos
3
2
-
- sin .
证明：1
sin
3
2
-
sin
2
-
-
sin
2
-
- cos
2
cos
3
2
-
cos
2
-
-
cos
2
-
- sin
例4 化简
sin 2
- cos
cos
2
cos
11
2
-
.
cos
-
sin 3
-
sin -
C．sin(－α－360°)＝－sin α
D．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 【解析】 cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故 B 项错误． 【答案】 B
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cos( k 360 ) cos cos( 2k ) cos
tan( k 360 ) tan tan( 2k ) tan
其中 k Z
其中 k Z
实质：终边相同，三角函数值相等
用途：“大”角化“小”角
思 考1
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系? 终边关于x轴对称
2
cos( - ) sin
2
sin(
)
cos
2
cos( ) - sin
2
口诀：奇变偶不变，符号看象限
口诀的意义：
k （k Z）的三角函数值
2
1）当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
2）当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上 一个把看作锐角时原三角函数值的符号；
点P(x, y)关于原点对称点P1(-x, -y) 点P(x, y)关于x轴对称点P2(x, -y) 点P(x, y)关于y轴对称点P3(-x, y)
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探究一
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系
r 1
sin y cos x tan y
x
sin( ) - y
cos( ) - x
sin( ) - sin
tan( ) - y y
-x x
公式二
cos( ) - cos tan( ) tan
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探究二
我们再来研究角 与 - 的三角函数值之
间的关系
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r 1
sin y cos x
sin(- ) - y
5
解：设 53 -， 37 。那么 90， 从而 90 - ，
于是，sin sin(90 - ) cos . 因为， - 270 -90. 所以， 143 323.
由sin 1 0,得143 180
5
所以，cos - 1- sin2 - 1- (1)2 - 2 6 .
【答案】 B
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5．已知 sin
φ＝ 6 ，求
11
cos
11π＋φ 2
＋sin(3π－φ)的值.
【解】 ∵sin φ＝161，
∴cos112π＋φ＝cos6π－π2 ＋φ＝cos－π2 ＋φ
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4．若 sinπ2 ＋θ<0，且 cosπ2 －θ>0，则 θ 是(
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三角限角
D．第四象限角
【解析】 由于 sinπ2 ＋θ＝cos θ<0，
cosπ2 －θ＝sin θ>0，所以角 θ 的终边落在第二象限，故选 B．
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
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cos(1800 ) sin( 3600 ) 例2 化简： tan(- -1800 ) cos(-1800 )
-
sin
9
2
解：原式=
-
sin
-
cos
-
sin
cos
5
2
-
=
-
-
sin2
cos sin
cos - cos
-
2
-sin
-
=
sin 4
- sin
2
- tan
-
cos
sin
-
-
sin
sin
2
cos
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例5 已知 sin(53 - ) 1 ，且 - 270 -90 ，求 sin(37 ) 的值。
sin(-) - sin sin( - ) sin
cos(-) cos cos( - ) - cos
tan(-) - tan tan( - ) - tan
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公式一：
公式二：
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
(k Z)
公式三：
sin( ) - sin cos( ) - cos tan( ) tan
公式四：
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
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思 考2
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x, y),请 同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个 点的坐标是什么?
2．sin 600°的值为( )
A．1 2
B．－1 2
C．
3 2
D．－
3 2
【解析】 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ 23.故选 D． 【答案】 D
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公式五
sin
2
-
cos
,
cos
2
-
sin
.
探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么 P5
结论？
角与角 的终边关于y轴对称
-1
2
P（5 - x, y）
y 1
0
-1
P(x,y) 1
x
公式六：
sin( ) cos
2
cos( ) - sin
2
思考4：你能概括一下公式五、六的共同特点和 规律吗？