• 对一阶精度迎风格式加入适量的逆耗散，以减小 扩散系数 • 离散格式中包含更多邻节点个数
5.4.3 非常数源项引起的 虚假扩散
对称边界
• 由对称性，有
u v 0, 0, 0 y y
固壁边界
• 对粘性流体，壁面无渗透，其壁面速度为 零，即 u v 0 • 对于 ，可提1、2、3类边界条件。
出口边界
• 难点：除非实测，不可能获得出口截面信息
• 出口截面局部坐标单向化：假定出口截面节 点对它近邻的内节点无影响，从而令边界节 点对内节点的影响系数为零
aN Dn A( Pn ) Dn A Pn F , 0 n
aS Ds B( Ps ) Ds A Ps F , 0 s
• 根据采用的三点离散格式不同，选定A(|Βιβλιοθήκη |) 函数形式不同，参见前一节的表格
5.4.2 网格取向效应引起的 交叉扩散
由于网格线和流线之间并非平行或垂直 ，而是有一定角度的交叉而导致的扩散
虚假扩散逐渐抹平阶梯分布
0
0
来流与网格线平行和交叉时 迎风格式计算结果
P W
P W S 2
对 策
• 尽量减小流线与网格线间的倾斜和交叉。采用自 适应网格，如“旋转坐标”技术。 • 改进对流项格式设计方案,采用高阶精度迎风格式
• 连续方程积分结果
0 P P
t
xy ( Fe Fw ) ( Fn Fs ) 0
两式相减合并
0 0 P (P P )
t ( SC SPP )xy
xy ( J e FeP ) ( J w FwP ) ( J n FnP ) ( J s FsP )
• 需要注意：一定要跟连续方程联立，才能 得到正确的结果，才能适用于可压和不可 压的情况
最终表达式
aPP aEE aWW aNN aSS b
aE De A( Pe ) De A Pe F , 0 e aW Dw B( Pw ) Dw A Pw F , 0 w
J x t s w x dxdydt J x e J x w yt ( J e J w )t t t n e J y J y n J y s xt ( J n J s )t t s w y dxdydt
5.3.2 三维非稳态对流扩散方程
• 离散结果
aPP aEE aWW aNN aSS aT T aBB b
• 系数表达式见课本
5.3.3 多维对流扩散问题的 边界条件处理
几种可能的边界条件
• 以有回流的突扩通道为例
入口边界
• 一般规定入口边界上的函数值 和 流速 u 和 v 的分布
5.4 对流扩散方程离散格式的 虚假扩散问题
1. 人工粘性引起流向扩散 2. 网格取向引起交叉扩散 3. 非常数源项带来的虚假扩散
5.4.1人工粘性所引起的 流向扩散
修正的偏微分方程(MPDE)
• 一维对流方程(波动方程)
u u a 0 (a 0) t x
• 一阶迎风格式
1 n n n un u c ( u u j j j j 1 )
(c at x)
修正的偏微分方程(MPDE)
• 迎风格式的泰勒展开
t ax t 2 ax 2 ut aux utt uxx uttt uxxx 2 2 6 6
自循环消元过程
• MPDE
ax ax 2 ut aux (1 c)uxx (2c 1)(c 1)uxxx 2 6
• 连续方程
( u) ( v ) 0 t x y
引入通量密度
• 对流扩散总通量密度：
J x u , x J y v y
• 质量通量密度：
Fx u, Fy v
用通量表示的控制方程
• 控制方程：
( ) J x J y S t x y
• 连续方程
( ) Fx Fy 0 t x y
2．控制容积积分离散
• 非稳态项：假设沿空间为均匀分布
( ) 0 dtdxdy ( ) ( ) xy P P t

s
n
e
t t
w t
• 对流、扩散通量项：时间积分取隐式，空 间取均匀分布
5.3 多维非稳态对流扩散问题
5.3.1 二维非稳态对流扩散 方程的离散
1．直角坐标系下的对流扩散 方程和连续方程
• 控制方程
( ) ( u ) ( v ) S t x y x x y y
虚假的流向扩散
• MPDE中的二阶空间导数代表扩散作用(粘 性效应)，相当在原始方程中增加了扩散作 用(人工粘性作用)，这引入了原始方程中没 有的一种虚假扩散。 • 流向扩散(streamwise diffusion): 只要求解 函数顺流向存在不为零的一阶导数时，它 使方程的真解被光滑，导致数值计算误差
t t n e
源项
• 线化为
S SC SP ( SP 0)
• 时间、空间均取均匀分布

s
n
e
t t
w t
Sdtdxdy ( SC SP )xyt
积分结果
( ) P ( )0 P xy ( J e J w ) ( J n J s ) ( SC SPP )xy t