河北省南宫中学2019-2020学年高一下学期6月月考（开学考试）
数学试题
一、单选题
(★) 1. 已知、、，且，则下列不等式成立的是（）
A．B．C．D．
(★★) 2. 若直线与直线互相垂直,则等于()
A．1B．-1C．±1D．-2
(★★) 3. 在中，，则∠ 等于( )
A．30°或150°B．60°C．60°或120°D．30°
(★★) 4. 若向量，满足，，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．
(★★) 5. 等差数列的前n项和为,且满足,则下列数中恒为常数的是( )
A．B．C．D．
(★★) 6. 一竖立在水平面上的圆锥物体的母线长为2 m，一只蚂蚁从圆锥的底面圆周上的点 P 出发，绕圆锥表面爬行一周后回到 P点，蚂蚁爬行的最短路径为，则圆锥的底面圆半径为（）
A．1m B．C．D．
(★★★) 7. 已知中，， E为 BD中点，若，则的值为（）
A．2B．6C．8D．10
(★★★) 8. 在中，角，，所对的边分别是，，.若
，则的形状是（）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
(★★) 9. 正项等比数列中，存在两项使得，且，则的最小值是( )
A．B．2C．D．
(★★★) 10. 唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域
为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要
到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）
A．B．C．D．
(★★★) 11. 已知正四棱锥的所有顶点都在球的球面上，若，且的体积为，则球的表面积为（）
A．B．C．D．
(★★★★) 12. 在平面直角坐标系中，已知，是圆上两个动点，且满足（），设，到直线的距离之和的最大值为，
若数列的前项和恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题
(★★) 13. 已知点，，为坐标原点，则外接圆的标准方程是__________. (★★) 14. 已知不等式的解集是,则不等式的解集是
________ .
(★★★) 15. 记为数列的前项和，若，则_____________．
(★★★) 16. 山顶上有一座信号发射塔，塔高0.2千米，山脚下有，，三个观测点，它们两两之间的距离分别为千米，千米，千米，从这三个观测点望塔尖的仰角均为60°，则山高为______千米.
三、解答题
(★★) 17. 已知数列满足，且.
（1）设，证明数列为等差数列；
（2）设，求数列的前 n项和.
(★★★) 18. 在中，，，且的面积为．
（1）求 a的值；
（2）若 D为 BC上一点，且，求的值．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
(★★★) 19. 如图四边形为梯形，，，求图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．
(★★★) 20. 已知的内角，，的对边，，分别满足，
，又点满足．
（1）求及角的大小；
（2）求的值．
(★★★) 21. 已知直线：，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. (★★★) 22. 已知数列满足：，
Ⅰ 求数列的通项公式；
Ⅱ 设，数列的前 n项和为，试比较与的大小．。