X ( P , q , m) = −
∂V ( P, q, m) / ∂P = p 0 x( p, q, m). ∂V ( P, q, m) / ∂m
这个计算表明 X ( P, q, m) 对于消费商品 x 来说，是一个合适的数量指数：如果我们首先加 总价格然后最大化 U ( X , z ) ，我们得到的结果和首先最大化 u ( x, z ) 然后再加总数量得到的 结果是一样的。 我们可以求出与 V ( P, q, m) 对偶的直接效用函数，计算方法如下：
费者价格指数（CPI） 。商品 z 的需求变成只有两个变量的函数：商品 z 相对于 CPI 的价格以 及相对于 CPI 的（相对）收入。
函数可分性
分解消费者的消费决策的第二种情形称为函数可分性（functional separability） 。假设潜 在的偏好排序具有下列性质
( x, z ) ≻ ( x′, z ) 当且仅当 ( x, z′) ≻ ( x′, z′)
9.3 商品之间的加总
在很多环境下，使用某些“部分” （partial）最大化问题对消费者选择建模是合理的。 例如，我们在为消费者对“肉类”消费选择建模时，不区分牛肉、猪肉和羊肉的数量。在大 多数实证研究中，对这类商品的某些类型的加总是有必要的。 为了描述和此类消费决策可分离性有关的某些有用结果，我们必须引进一些新的符号。 我们将消费束分割为两个“亚消费束” ，因此消费束的形式为 ( x, z ) 。例如， x 为不同肉的 消费数量组成的向量， z 为所有其他商品消费数量组成的向量。 类似地，我们将价格向量分割为 ( p, q ) 。其中 p 为各种肉类的价格组成的向量，q 为其 他商品价格组成的向量。使用这些符号可将标准的效用最大化问题写为
劳动供给
假设消费者选择两种商品：消费和劳动。他的非劳动收入为 m 。令 v(c, l ) 表示消费和 劳动的效用，将这个效用最大化问题写为
max v(c, l )
c,l
使得 pc = wl + m. 这个问题和我们以前研究的问题看上去稍有不同：劳动可能是一种“厌恶品” ，而不是消费 者喜欢的商品，并且劳动出现在预算约束的右侧。 然而，将这个问题转换为标准形式并不难。令 L 表示消费者能够工作的最长时间，则
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曹乾（东南大学 caoqianseu@）
9 需求
在本章， 我们将分析需求行为的几个主题。 这些主题中的大部分涉及到特别形式的预算 约束， 或者涉及到导致特别需求行为的偏好。 在很多环境中， 这样的特殊情形非常便于分析， 我们也需要理解它们是如何运行的。
9.1 含有禀赋的预算约束
在前几章的消费者行为理论中，我们假设消费者的收入是外生的。但在更详细的消费 者行为模型中， 需要考虑收入是怎么产生的。 比较常规的方法是认为消费者拥有各种商品的 禀赋（endowment） ω = (ω1 ,..., ωk ) ，这些禀赋可以按照当前的市场价格 p 出售。这样，消 费者的收入为 m = pω ，他可以使用这些收入购买其他商品。 效用最大化问题变为
两种商品情形下的模型
当我们研究一种商品的需求时，我们经常使用希克斯加总。在这种情形下，将商品 z 看 成一种商品，而将商品 x 看成“所有其他商品” 。最大化问题因此为
max u ( x, z )
x, z
使得 px + qz = m. 假设商品 x 的相对价格维持不变， 因此 p = Pp 0 。 也就是说， 价格向量是某个基价格向量 p 0 乘以某个价格指数 P 。于是希克斯加总表明我们可以将商品 z 的需求写为
dxi ( p, pω ) ∂xi ( p, pw) = dp j ∂p j
pω = 常数
+
∂xi ( p, pω ) ωj ∂m
上式右侧第一项是维持收入不变时将需求对价格求导。右侧第二项是需求对收入的导 数乘以收入的变动量。右侧第一项可用斯勒茨基方程展开。合并同类项可得
dxi ( p, pω ) ∂hi ( p, u ) ∂xi ( p, pω ) = + (ω j − x j ). dp j ∂p j ∂m
9.2 位似效用函数
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曹乾（东南大学 caoqianseu@）
函数 f : R → R 称为一次齐次的，若 f (tx ) = tf ( x ) 对于所有 t > 0 成立。方程 f ( x) 是
n
位似的 （homothetic） ，若 f ( x) = g ( h( x )) ，其中 g 是一个严格增函数 h 是一个一次齐次函 ．．．
现在收入效应取决于商品 j 的净需求而不是总需求。 考虑正常商品的情形， 当商品价格 上升时， 替代效应和收入效应都使需求减少。 但是假设某消费者是该商品的净出售者。 那么， 他的实际收入会增加，这种额外的禀赋收入效应可能会导致他增加该种商品的消费。
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曹乾（东南大学 caoqianseu@）
根据定义可知方括号内的项是非负的，在现实中几乎肯定为正。因此，上式是说闲暇需求的 导数，等于一个负数和一个正数的加和，所以它的符号在本质上是不明确的（即可能为正也 可能为负） 。换句话说，工资率的增加可能导致劳动供给的增加也可能减少。 本质上， 工资率的增加倾向于使得劳动的供给增加， 这是因为闲暇此时变得更昂贵—— 多工作一些会得到更多的消费。但是，与此同时，工资率的上升也使得你更有钱，而这又会 增加你对闲暇的需求。
c, L
使得 pc + wL = wL + m. 上述问题的形式和我们以前研究的形式基本是一样的。 此处消费者按照价格 w“出售” 他的劳动禀赋并且买回一些闲暇。 根据斯勒茨基方程可以计算出当工资率变动时闲暇的需求是如何变动的。我们有
dL( p, w, m) ∂L( p, w, u ) ∂L( p, w, u ) = + [ L − L]. ∂w dw ∂m
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曹乾（东南大学 caoqianseu@）
P = f ( p) X = g ( x)
（9.2）
在上面的表达式中，P 是某个“价格指数” ，它给出了商品的“平均价格” ，而 X 是一个 数量指数，它给出了各种肉的平均消费“数量” 。我们希望找到构建这些价格和数量指数的 方法，从而使得它们的行为就象普通价格和数量一样。 也就是说， 我们希望找到一个新的效用函数 U ( X , z ) ， 这个函数仅取决于商品 x 的数量 指数，这个函数给与我们的答案正如我们求解(9.1)的整个最大化问题一样。更正式地，考虑 问题
max u ( x)
xLeabharlann 使得 px = pω 这个问题可用标准方法求解，从而得到需求函数 x ( p, pω ) 。商品 i 的净需求为 xi − ωi 。消 费者对某种商品的净需求可能为正也可能为负， 这取决于他对该商品的需求是大于还是小于 他的该商品禀赋的数量。 在这个模型中，价格影响到消费者所拥有的商品（禀赋）的价值，也影响到消费者想 要出售的商品价值。使用斯勒茨基方程可清楚地看到这一点。下面我们进行推导。首先，将 需求对价格进行微分：
z = z ( P, q, m).
由于这个需求函数是零次齐次的，我们也可以将其写为
z = z (q / P, m / P ).
这个式子是说商品 z 的需求取决于商品 z 相对于“所有其他商品”的价格，以及取决于收入 除以“所有其他商品”的价格。在实践中，所有其他商品的价格指数通常选用某些标准的消
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曹乾（东南大学 caoqianseu@）
对于所有消费束 x, x′, z 和 z′ 成立。 这个条件是说如果对于另外商品的某些 某些 选择来说， x 比 x′ ．． 更受偏好，那么对于另外商品的所有 所有 选择来说， x 比 x′ 更受偏好。或者，更简洁地说，商 ．． 品 x 的偏好独立于商品 z 的偏好。 如果这个“独立性”得以满足，而且偏好是局部非饱和的，则可以证明商品 x 和商品 z 的效用函数可以写成 u ( x, z ) = U (v ( x ), z ) ， 其中 U (v, z ) 是 v 的增函数。 也就是说， 商品 x 和 商品 z 产生的总效用， 可以写成商品 x 的次效用 （subutility）v( x) 和商品 z 消费水平的函数。 如果效用函数可以写成这种形式， 我们说这种效用函数是弱可分的 （weakly separable） 。 ．．．． 可 分性 意味着 效用 最大化 问题 有什么 样的结 构？ 和往 常一样 ，我们 把需 求函 数写为 x( p, q, m) 和 z ( p, q, m) 。令 mx = px( p, q, m) 表示商品 x 的最小支出。 可以证明， 如果总效用函数是弱可分的， 则商品 x 的最优选择可以通过求解下列的次效 用最大化问题而获得：
数。第 26 章进一步讨论了这种函数的数学性质。 经济学家通常发现假设效用函数是齐次的或位似的，将给分析带来方便。事实上，效 用理论中的这两个概念存在着稍许区别。 位似函数是齐次函数的单调变换， 但效用函数的单 调变化仍代表着原来的偏好。 因此假设偏好可用位似函数代表， 等价于假设该偏好可用一次 齐次的函数代表。 如果消费者的偏好可用位似效用函数表示， 经济学家说该消费者的偏好是 位似的。 我们在生产理论中已经知道，如果生产函数是一次齐次的，则成本函数可以写成
曹乾● 曹乾●经济学译丛精品系列
Microeconomics Analysis
（3th edition） Hal. R. Varian （University of Michigan Ann Arbor）
范里安 微观经济分析（第 3 版）
完美中文翻译版
第 9 章：需求
曹乾
(东南大学
译
caoqianseu@)
max U ( X , z )
X ,z
使得 PX + qz = m. 数量指数 X 的需求函数为某个函数 X ( P, q, m) 。我们想知道何时下式才成立