专题10 最优化例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤≤1，则=22+16+3y 2=142+4+3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线. 例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f ()在a ≤≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f ()在a ≤≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f ()在=0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f ()在=a 或=b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当=43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或=1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23. (2) 如图，AB =8，设AC =，则BC =8- ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+xBF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC , 从而=AC =3831=AB .故原式取最小值时，=38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设1≥1，2≥2，≥，于是1+2+…+≤1+2+…+ = 2003，即20032)1(≤+k k (+1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴≤62. 当1=1，2=2，…61=61，62=112时，原等式成立，故的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-3的值均不是完全平方数，故c 的最小值为6.A 级1．7- 11- 2．1 3．14 提示：y =5－,=4－，原式=3(－3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－+1000(500≤≤800) (2)①S =(－500)(－+1000)=－2+1500－500000(500≤≤800);②S －(－750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为1，2，则12+22=4(m －34)2+1034，由此得12+22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－)，于是有（a +b )2=12(3－)≥0，∴≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （1,0)，B （2，0)，其中 1，2是方程a 2+b +c =0的两根，则有1+2=b a -<0，12=ca >0，得1<0，2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|1|<1，|OB |=|2|<1，∴－1<1<0，－1<2<0，于是ca=12<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当=－1时，对应的二次函数值大于0，即a－b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b +1>2+1，从而a +c >2+1，则212>>≥，于是a >4，即a ≥5，故b b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =52+5+1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++L =11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即=2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3．提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=，则BB 1=2，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：=s －2≥0,y =5－43s ≥0，=1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB |=C (2125,24k k k -++-），ABC S V 2+2+5=(+1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为元，每日利润为S 元．当≥18时，有S =[60－5（－18)](－10)=－5(－20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当≤18时，S =[60+10（18－)](－10)=－10(－17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为，(3－)万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x =2+(9－10s )+25s 2－27=0，∵关于的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得=0.75（万元），3－=2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－－，代入y ＋y ＋=3，得2＋(－5)＋(2－5＋3)=0．∵为实数，∴Δ=(－5)2－4(2－5＋3)≥0，解得－1≤≤133,故的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =a ，c =a 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (2＋＋1)=13．∵a ≠0，∴2＋＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤5231≤a ≤16．当a =1时，方程①化为2＋－12=0，解得1=－4，2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为2＋＋316=0．解得1=－34，2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设1，2，…，n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴13＋23＋…＋n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤13＋23＋…＋n3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，13＋23＋…＋n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，13＋23＋…＋n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴12＋22＋…＋402的最大值和最小值存在．不妨设1≤2≤…≤40．若1>1，则1＋2=(1－1)＋(2＋1)，且(1－1)2＋(2＋1)2=12＋22＋2(2－1)＋2>12＋22．于是，当1>1时，可以把1逐步调整到1，此时，12＋22＋…＋402的值将增大．同理可以把2，3，…，39逐步调整到1，此时12＋22＋…＋402的值将增大．从而，当1，2，…，39均为1，40=19时，12＋22＋…＋402取得最大值，即A =22239111+++L 1442443个＋192=400．若存在两个数i ，j ，使得j －i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（i ＋1)2＋(j －1)2=i 2＋j 2－2(i －j －1)<i 2＋j 2．这表明，在 1，2，…，40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，12＋22＋…＋402的值将减小，因此，当12＋22＋…＋402取得最小值时，1，2，…，40中任意两个数的差都不大于1．故 当1=2=…=22=1，23=24=…=40=2时，12＋22＋…＋402取得最小值，即222111+++L 144244322个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。