30 ( 2)2 2 ,∴S扇形ABD= ∴AB= = . 360 6
又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE, ∴Rt△ADE≌Rt△ABC,
∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD .故选A. 6 =
变式3-1 (2018威海)如图,正方形ABCD中,AB=12,点E为BC中点, 以CD为直径作半圆CFD,点F为半圆CFD的中点,连接AF,EF,图中 阴影部分的面积是 ( C )
考点一
弧长与扇形的面积
例1 (2018淄博)如图,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC
的长为 ( D )
A.2π
8 B. 3
3 C. 4
4 D. 3
解析 如图,连接CO,
∵∠BAC=50°,AO=CO=3, ∴∠ACO=50°,∴∠AOC=80°,
80 3 4 ∴劣弧AC的长为 = . 3 180
知识点二
圆柱和圆锥
2
1.圆柱的侧面展开图是矩形,如果圆柱的底面圆的半径是r,高是l,
则S圆柱侧=③ 2πrl ;S圆柱全=④ 2πrl+2πr ;V圆柱=⑤ πr l .
2
2.如果把圆锥的侧面沿着它的一条母线剪开,那么它的侧面展开
图是一个扇形,扇形的弧长等于⑥ 圆锥底面圆的周长 .如果圆锥
母线长为l,底面半径为r,高为h,则圆锥侧面积S=⑦ =⑧ πrl+πr
2
πrl ;S圆锥全
1 3
;V圆锥=⑨ πr h .
2
知识点三
阴影部分的面积
1.规则图形:按规则图形的面积公式求.
2.不规则图形:采用“化归”的数学思想方法,把不规则图形的面 积采用“割补法”“等积变形法”“平移法”等转化为规则图
形的面积.
泰安考点聚焦
考点一 考点二 考点三 弧长与扇形的面积 与圆锥有关的计算 不规则图形的面积
0, ∴展开图中的扇形的圆心角为60°. 圆锥的侧面展开图如图所示. ∴△OBB'为正三角形. 故它爬行的最短路线长为BB'=角所对的弧所围成的图形叫
做扇形.若扇形的圆心角为n°,所在圆的半径为R,弧长为l,面积为S,
n R 2 1 则S=② 360 或 lR 2 .
温馨提示
的高.
1 扇形面积公式S扇形= lR与三角形面积公式十分类似, 2
可把扇形想象为曲边三角形,把弧长l看作底边长,把R看作底边上
面积转化成规则图形的面积的和或差.转化时常用的方法:(1)割 补法;(2)拼凑法;(3)等积变形法;(4)构造方程法等.
随堂巩固训练
一、选择题 1.(2018德州)如图,从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心 角为90°的扇形.则此扇形的面积为 ( A )
2 A. 2m
3 2 B. π m 2
解析 设圆锥的母线长为R,底面半径为r,圆锥侧面展开图的圆心 角为n, ∴圆锥的底面周长=2πr,底面积=πr ,
1·2πr·R=πrR. ∴圆锥的侧面积= 2
2
∵圆锥的侧面积是底面积的2倍, ∴πrR=2πr , ∴R=2r. ∵扇形的弧长=圆锥的底面周长, n R n 2r ∴ =2πr,∴ =2πr,
3 的菱形OABC的顶点A,C,B 4.如图,扇形DOE的半径为3,边长为
DE 上,若把扇形DOE围成一个圆锥,则此圆锥的高 分别在OD,OE,
︵
为 ( D )
1 A. 2
B.2 2
C.
37 2
D.
35 2
二、填空题 5.(2018郴州)如图,圆锥的母线长为10 cm,高为8 cm,则该圆锥的 侧面展开图(扇形)的弧长为 12π cm.(结果用π表示)
∵直线AB,CD分别与☉O相切于B,D两点,AB⊥CD,
∴∠OBP=∠P=∠ODP=90°, ∵OB=OD,∴四边形BODP是正方形,
∴∠BOD=90°.
4 ∵BD=4,∴OB= 2 =2 2
90 (2 2)2 1 2 ∴阴影部分的面积=S扇形BOD-S△BOD= 360 - ×2 2 ×22 =2π
第23讲
与圆有关的计算
总纲目录
泰安考情分析 基础知识过关 泰安考点聚焦 随堂巩固练习
泰安考情分析
基础知识过关
知识点一 弧长与扇形的面积
知识点二
知识点三
圆柱和圆锥
阴影部分的面积
知识点一
式为①
弧长与扇形的面积
1.如果弧长为l,圆心角为n°,圆的半径为R,那么弧长的计算公
n R l= 180 .
故选D.
变式1-1 (2017烟台)如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直
DE的长为 ( B ) 径的☉O交CD于点E,则
︵
1 A. 3π
2 B. 3π
7 C. 6π
4 D. 3π
解析 连接OE,如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6, ∴OA=OD=3,
-4.
7.如图,P为☉O直径AB上的一个动点,点C,D为半圆的三等分点, 若AB=12,则图中阴影部分的面积为 6π .
解析 连接OC,OD,CD.
∵△COD和△CPD同底等高,
∴S△COD=S△CPD, ∵点C,D为半圆的三等分点,
∴∠COD=180°÷3=60°,
60 62 ∴阴影部分的面积=S扇形COD= =6π. 360
180
2
180
∴n=180°,故选B.
变式2-1 (2017泰安)工人师傅用一张半径为24 cm,圆心角为150 °的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高为 2 119 cm . 解析 ∵扇形的半径为24 cm,圆心角为150°,
150 24 ∴扇形的弧长= =20π(cm), 180
∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,
∴∠DOE=180°-2×70°=40°,
40 3 2 ∴ = π.故选B. DE 的长= 3 180
︵
方法技巧
在解答有关弧长或扇形面积的计算问题时,熟记计
算公式是解题的关键.
考点二
与圆锥有关的计算
例2 (2018仙桃)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧 面展开图的圆心角的度数是 ( B ) A.120° B.180° C.240° D.300°
∴圆锥的底面周长=扇形的弧长=20π cm, ∴圆锥的底面半径=20π÷2π=10(cm). ∵圆锥的母线长=扇形的半径=24 cm,
476 =2 ∴圆锥的高= 119 (cm). 242 102 =
方法技巧
注意区别圆锥的底面半径与侧面展开图中扇形的
半径.圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆 的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.
考点三
不规则图形的面积
例3 (2017济宁)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,将Rt
△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE,点B经过的路径为 BD ,则图中阴影部分的面积是( A )
︵
A. 6 B. 3
1 C. - 2 2
1 D. 2
解析 ∵∠ACB=90°,AC=BC=1,
三、解答题
8.圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点
B出发,沿圆锥侧面爬行一圈再回到点B,求它爬行的最短路线.
解析 ∵圆锥的底面半径为1, ∴其底面周长等于2π. 设圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角为n°,
6 n ,解得n=6 根据圆锥的底面周长等于展开后扇形的弧长得2π= 180
102 82 =6 cm. 解析 由题意可知圆锥的底面半径为
∴圆锥侧面展开图的弧长=圆锥的底面周长=2×6π=12π cm.
6.(2017青岛)如图,直线AB,CD分别与☉O相切于B,D两点,且AB⊥
CD,垂足为P,连接BD,若BD=4,则阴影部分的面积为 2π-4 .
解析 如图,连接OB,OD.
∴∠AEB=∠EFH, 而∠EFH+∠FEH=90°, ∴∠AEB+∠FEH=90°, ∴∠AEF=90°.
1 ∴图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆-S△ABE-S△AEF=12×12+ · 2 1 1 2 π·6 - ×12×6- ×6 5 ×6 5 =18+18π. 2 2
故选C. 方法技巧 在计算不规则图形的面积时,常常把不规则图形的
A.18+36π C.18+18π B.24+18π D.12+18π
解析 作FH⊥BC,交BC的延长线于H,连接AE,如图,
∵点E为BC的中点,点F为半圆的中点,
∴BE=CE=CH=FH=6,
2 AE= =6 , 5 62 12
易得Rt△ABE≌Rt△EHF, ∴FE=AE=65 ,
C.π m
2
D.2π m
2
2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18 cm,圆心角为240°的扇 形,则这个圆锥的底面半径为 ( C ) A.6 cm B.9 cm C.12 cm D.18 cm
3.(2017淄博)如图,半圆O的直径BC恰与等腰直角三角形ABC的一 条直角边完全重合,若BC=4,则图中阴影部分的面积是 ( A ) A.2+π C.4+π B.2+2π D.2+4π