空间向量期末复习知识要点:1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

运算律：⑴加法交换律：a + h =b +ci⑵加法结合律：（N + T） + E = N + 0 + e）⑶数乘分配律：= +3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5 ,记作allb o当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量万、b（方工6）, allb存在实数2,使a=kb o4.共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数x^y\^p = xa-\-yb。

5.空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z ,使0 = xN + y5 + zC。

若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O ,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x, y, z ,使OP = xOA + yOB + zOC。

6.空间向量的数量积。

（1）空I'可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A = a,0B = b ,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OM a9b＞＜7T, 显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。

（2）向量的模：设0A = a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：\a\o（3）向量的数量积：已知向量丽,贝ij|5|-|6|-cos＜5^＞叫做乳方的数量积，记作a-b ,即方・5 = \a\-\h\-cos<a,b>o(4)空间向量数量积的性质：① 3-e =| 5 | cos < a,e > o②万丄h <^=> a -h = 0 o③ \a^= a • a o(5)空间向量数量积运算律：©(25)-b = 2(3-b) = a-(Ab)o②a b =b -a (交换律)。

@a-(b+c) = a-b + a-c (分配律)。

7.空I'可向量的坐标运算：(1).向量的直角坐标运算设a = (a^a29a3)f b =(b x,b2,b3)则(1) a +b =(勺 +勺卫2 +〃2，。

3 +伏);(3)入万=(加]，加2,加3)(入WR)；• , • , •(2)•设A(x p y p Zj) , B(x2,y2,z2),则AB = OB-OA= (x2-x{,y2-y},z2-z}).丄丄(3).设a = (X],必，Z]), b = (x2,y2,z2),贝】J7 ——9 ? 2_ = a • a =石 + 片 + Zj丄丄丄ii i 丄丄丄丄aPb a = ^b(b HO)； d 丄boa・b = 0o x}x2 + y}y2 + z,z2= 0 •⑷.夹角公式设云=(坷“吗),方=(4,2厶)，则cos <a,b>= /砒+警+小+ Q；+ ci； Jb； + b； + b；(5).异面直线所成角丨兀內+儿儿+么乓!J*/ + J/, + 可2 •&： +旳？ + Z?2(6).直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线/的方向向量为0，平面G的法向量为弘直线/与平面G所成的角(1)如图①，AB, CQ是二面角a・1中的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=〈乔，CD).(2)如图②③，Hz，心分别是二面角a-l-fi的两个半平面a, ”的法向量，则二面角的大小&= 51，刃2〉或兀—51，兀2〉・(2) a —b = (a】-b^a2 -b2,a3-b3)；—e(4) a 9 b = a A b} + a2b2 + a3b3；则有sin 0 = |cos 〃| =I心Ii«ikrcos&=| cos 仏b1 1两向暈0与證的夹角为0,COS&] = COS < /?!n2> =练习题：1-己知a=(—3,2,5), b=(l, x,•1)且a・b=2,则x的值是(2. 已知 a = (2,4,5), b=(3, x, y),若 a 〃b,贝9() A. x=6,尹=15B. x=3, y = 2C. x=3,y=15D.兀=6, y= 2 3.已知空间三点/(0,2,3), 5(-2,1,6), C(l, -1,5).若阀=羽,且a 分别与乔，花垂 直，则向量。

为()A.(1,1,1) B.(-1, -1, -1) C.(1,1,1)或(一1, —1, — 1) D. (1, —1,1)或(-1,1, -1)4. 若 a=(2, 一3,5), *=(-3,1, 一4),贝也一2切= _____________ .5. 如图所示，已知正四面体ABCD 4E=*B, CF=^CD,则直线DE 和3F 所成角的余弦值为4.A/258 解析 Va-2ft=(8, -5,13), ・•・ \a~2b\ =^82 + (-5)2+ 132 =^258.5 土亠13解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点/在底面BCQ 内的射影为△BCQ 的垂心，所 以有BC 丄D4, ABLCD.设正四面体的棱长为4,则亦赤=(貶+拆)•(茹+屁)= O+BGAE+CF-DA+O=4XlXcos 120°+lX4Xcos 120。

=一4,BF= DE=y^^+12-2 X 4 X 1 X cos 60° =匹,所以异面直线DE 与3F的夹角0的余弦值为:cos 0= 6. 如图所示，在平行六面体 ABCD-A }B\C\D X 屮，设 AA } =a, AB =b, AD=c, M, N, P 分别是AA ]f BC, GD 的中点，试用a, d c 表示以下各向量：⑴乔；(2)4^；A. 3B. 4C. 5D. 6_4_=1? A(3)MP+ NC,.解：(1)VP是CQi的中点，:.AP = AA{+孫 + D^P一1 ---------=a+ AD +^Z)]Ci=a+c+^AB=a+c+如.(2)・.・N是3C的中点，：.A^N = A^A + AB + BN= -a+b+^BC1 一1= ~a+b+^AD =—a+b+^c.(3)TM是曲i的中点,:.MP = MA+JP =*命 + ~AP=-*a+(d+c+*»=*a+如+c, 又NC}=7jC +CC{ ^BC + AA,=〒D + AA} pc+a,~MP + NC、=©+如+ c) + (a+*c)3 1 3=严+卫+㊁c.7.己知直三棱柱ABC-A[B l C[中，N4BC为等腰直角三角形，ZBAC=90。

,且AB=AA if D, E, F分别为BS，CiC, BC的中点.(1)求证：DE〃平面MC；(2)求证：3|F丄平面/EF.证明：以/为原点，4B, AC,所在直线为x轴，尹轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令力〃=/川=4,则力(0,0,0), E(0,4,2), F(2,2,0), 3(4,0,4), D(2,0,2), 4(0,0,4),(1) D£ =(-2A0),平面 的法向量为 AA } =(0,0,4), '：~DE ~AA X =0, DEG 平而 ABC,•••DE 〃平面 ABC.(2) 8f =(_2,2, -4), EF =(2, -2, -2),乔 ・ EF =(-2)X2 + 2X(-2) + (-4)X(-2) = 0,••• B 、F 丄 EF, B 、F 丄EF,乔•乔=(-2)X2 + 2X2 + (-4)X0 = 0,：.B^F 丄乔，：.B }F 丄/F.•••4FCEF=F,:・B\F 丄平面 AEF.8•如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，PC 丄平面ABCD, PC=2.在四边形 ABCD 中，Z^=ZC=90°, AB=4, CD=\,点 M 在刖上,(1)CM 〃平面 PAD ；(2)平面刃B 丄平面PAD.证明：以C 为坐标原点，C8为X 轴，CQ 为y 轴，CP 为Z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系C ・xyz.•:PC 丄平面ABCD,:.乙PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角,••• ZPBC= 30°,9：PC=2, •••BC=2E PB=4,PB=4PM ，与平面MCD 成30。

的角.求证:Al・・・Q(0,l,0), BQ晶 0,0), A(2y/3t 4,0),尸(0,0,2), •••丽=(0, -1,2), DA =(2^3, 3,0),CM =,o, I)⑴设〃 = (x，“ z)为平面刊D的一个法向量,—y+2z=0,2伍+3y=0,令丁=2,得"=(—^3, 2,1).*：n CM =-^3>< 2 +2X0+1X2 = 0,・•・〃丄而.又CMQ平面PAD,:.CM〃平面PAD.(2)如图，取力尸的中点E,连接BE,则E©, 2,1),匪=(一点2,1).•・・PB=AB, ・・・BE丄PA.又•: ~BE DA =(-A/3, 2,1) (2萌，3,0)=0,・・・BE丄DA . BE丄D4.5LPAr}DA=A f :.BE丄平面B4D.又・：BE U平面R4B,・•・平面/MB丄平面PAD.9.如图，在正方体人BCD・A\B、C\D\中，E为的中点.(1)求直线/D和直线5C所成角的大小；(2)求证：平面EEQ丄平面B、CD.解：不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA, DC, 建立DD\分别为x轴、尹轴、z轴,如图所示的空间直角坐标系D-xyz.根据已知得：£>(0,0,0), J(2,0,0), 8(2,2,0), C(0,2,0),耳(2,2,2).⑴・・•可=(2,0,0),画=(2,0,2),・・・cos〈可，西〉=巴迅=半1 1| DA || CB, | 27T・；直线力D和直线所成角为才.(2)证明：取3Q的中点F,得F(l,l,l),连接EF.TE 为力3 的中点，£(2,1,0),A EF =(-1,0,1), 5C =(0,2,0),・•・丽反=0, EF CB} =0,:.EF丄DC, EF丄CB\.•:DCCCB\ = C,・・・EF丄平面B\CD.又TEFU平面EB、D,・•・平面EBQ丄平面B\CD.10.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB//CD, MB丄BC, AB=2CD=2BC, EA丄EB.⑴求证：MB丄DE；(2)求直线EC与平而ABE所成角的正弦值；⑶线段以上是否存在点F,使EC〃平面FBD?若存在，求出徐若不存在，请说明理由.解：(1)证明：取力3的中点O,连接EO, DO. 因为EB=EA,所以EO丄MB.因为四边形ABCD为直角梯形.AB=2CD=2BC, AB丄BC,所以四边形OBCD为正方形，所以丄OD 因为EOODO=O,所以力〃丄平面EOD,所以力3丄ED.(2)因为平面/BE丄平面ABCD,且EO丄4B, 所以EO丄平面ABCD,所以EO丄OD由OB, OD, OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.A因为三角形EAB 为等腰直角三角形,所以 OA = OB=OD=OE,设 OB=1,所以 0(0,0,0), 1,0,0), 3(1,0,0), C(1 丄0),D(0,l,0), E(0,0,l).所以丽=(1,1, -1), 平面ABE 的一个法向量为筋 =(0,1,0). 设直线EC 与平面所成的角为0,即直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值为誓.11.(12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P —/BCD 中，刃丄平面 =4,E 是PD 的中点.(1)求证：平面PQC 丄平面刊D⑵求点B 到平面PCD 的距离.21. ⑴证明如图，间直角坐标系，则依题意可知力(0,0,0), 3(0,2,0), C(4,2,0),£>(4,0,0), P(0,0,2).・••励=(4,0, -2),励=(0, -2,0),场=(0,0, -2). 设平面PDC 的一个法向量为n =(X. y,l),所以平面尸CQ 的一个法向量为仕，0, 1)•・•丹丄平面ABCD, :.PALAB,又 '：ABLAD, PA^AD=A 9 :.AB 丄平面刊 D・•・平面PAD 的法向量为乔=(0,2,0).'：n-AB=0,・•・聽丄乔・•・平面PDC 丄平面PAD.所以 sin<9=|cos <£C,OD) | = \ECOD\_y[3 \EC\\OD\~ 3 -2v=0 4x-2 = 0P4=AB=2f BCy 轴、z 轴建立空⑵解 由⑴知平面PCD 的一个单位法向量为侖=(平，0, 芈j.-n'■ T(4' O' °)梓'O'爭)1 普'・••点B 到平面PCD 的距离为攀.12. 如图所示，在多面体ABCD-AyB x CyD\中，上、下两个底面A }B }C }D }和力3CQ 互相平行，且都是正方形，DQ 丄底面ABCD, AB=2A 、B\=2DD\=2a.(1) 求界面直线与DD X 所成角的余弦值；(2) 已知F 是40的中点，求证：Mi 丄平面BCC\B\；(3) 在⑵的条件下，求二面角F-CCi-5的余弦值.解：以D 为坐标原点，分别以D4, DC, DDi 所在直线为兀轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2a f 0,0), B(2a,2d,0), B\(a, a, a), C )(0, a, a).・••异面直线/ B i 与QD i 所成角的余弦值为¥•FB 、・BB\ =0,耳祝=0,•••FB 』BB\, FB 』BC ・•:BB\CBC=B, ・・・FBi 丄平面 BCC/i.C(0,2Q ,0), D(0,0, a), F(Q ,O,O),(1)V AB } =(—a 9 a, a),DD 、=(0O a)， /• |cos 〈 AB 、，DD } > | =AB 、・ DD 、⑷|・|DQ|(2”正明：V BB } =(~a 9—a, a), FB 、=(0, a, a),=(-267,0,0),(3)由(2)知，FB}为平面BCC\B\的一个法向量.设n = (x lf zj 为平面FCG 的法向量,V cq =(0, -a, a)f FC =(-a,2a,0)f ~ay\ +Q Z] =0,~ax\+2ay\=0. 令尹1 = 1,则"=(2丄1),向量为加=(—3, —2,1).面CEC 、的一个法向量.n CC } =0,rvFC=0f 得丿〈陌，71 > = FB 、nI 两|啊 •・•二面角F-CCi-B 为锐角,・•・二面角F ・CC\・B 的余弦值为¥• 13. 如图，四棱柱 ABCD-AxB x C {D xAB CD, AB "DC,肋丄 AD, AD=CD=\, 的中点.(1) 证明：B 、C 」CE;(2) 求二面角B\・CE ・C\的正弦值.(3) 设点M 在线段C 、E 上，且直线AM 与平面ADD.A,所成角的正弦值为習，求线段的长.解：法一：如图，以点力为原点建立空间直角坐标系，依题 意得力(0,0,0), 3(0,0,2), C(l,0,l),厲(0,2,2), G(l,2,l), E(0,l,0).(1) 证明：易得荫=(1,0, -1), CE=(-1,1, -1),于是 瓦可•圧=0,所以5C|丄CE(2) 莊=(1, -2, -1).设平面5CE 的法向量m=(x, y, z),m BQ =0,一即“ in CE =0,x —2y —z=0f —x+y —z=0. 消去x,得y+2z=0, 不妨令z=l,可得一个法 由(1)次口，BC 丄 CE,又 CC]丄B]C], 可得5G 丄平面CEC l9故B.C. =(1,0, 一1)为平2A /77 ，于是 cos {tn, EC 〉 m- BQS,昭 > =罕从而sinG）疋=（0 丄0）, EC} =（1,1,1）.设EM =A£Q =（A, A,久），0W&W1, 有AM = AE +所以二面角B、・CE・C\的正弦值为警IEM =(x,久+1, X).可取AB =(0,0,2)为平面ADD}A}的一个法向量•设0为直线/M与平' ■ ' •面ADM所成的角‘则sin 0=|c°s <AM, AB > |=摞隅=诃誌养旷回2爲+1•于是©昇2卄广寻解得所以AM=^'法二：⑴证明：因为侧棱CC1丄底面力/iCQi, B]C]U平面AxB x C\D\,所以CCi 丄5C].经计算可得B、E=^, B\C、=也,EC\ =晶从而B^=B X C\+EC\,所以在△ B X EC X中，BiC\ 丄C\E,又CG, GEU平面CC、E, CC]QCE=C],所以5G丄平面CC\E.又CEU平面CC\E,故B\C」CE.(2)过厲作0G丄CE于点G,连接GG.由(1)知，B\C」CE,故CE丄平面B\C\G,得CE丄C|G,所以ZB I GC I为二面角B\・CE・C\的平面角.在ZkCCiE中，由CE=C\E=羽, CC|=2,可得C】G=爭.在RtZ\5C|G 中，B】G=攀，所以sin ZBg=^,即二面角B\・CE・C\的正弦值为厚.(3)连接D、E,过点M作MH丄ED于点H,可得加丄平® ADD}A Xy连接/H, AM, 则ZMAH为直线与平面ADD X A X所成的角.、Q A/34AM=x,从而在Rt△昇HM 中，有MH=AH=〒£在RtACQiE 中，CQ】= 1, ED\=y[i,得EH=y/2MH=jx.在中，Z4EH= \35。