2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设函数2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若,则实数α=A ．-4或-2B ．-4或2C ．-2或4D ．-2或22．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若1,(1)z i z z =++⋅则= A ．3 B ．3 C ．1+3i D ．33．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是4．下列命题中错误．．的是 A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β5．设实数,x y 满足不等式组250270,0x y x y x +-⎧⎪+-⎨⎪⎩＞＞≥，y ≥0，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是A ．14B ．16C ．17D ．196．若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，3cos()423πβ-=，则cos()2βα+= A ．33 B ．33-C ．539D ．69-7．若,a b 为实数，则“01mab ＜＜”是11a b b a＜或＞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=＞＞与双曲线221:14y C x -=有公共的焦点，1C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则A ．2132a =B ．213a =C ．212b =D ．22b =9．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率A ．15B ．25C ．35 D 4510．设a ，b ，c 为实数，f （x ）=（）22(),()(1)(1)x bx c g x ax ax bx ++=+++．记集合()0,,()0,,x f x x R T x g x x R =∈==∈若S ，T 分别为集合元素S ，T 的元素个数，则下列结论不可能．．．的是 A ．S =1且T =0 B ．1T =1S =且 C ．S =2且T =2D ．S =2且T =3非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a = = 。

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。

13．设二项式（x）6（a>0）的展开式中X 的系数为A,常数项为B ， 若4A ，则a 的值是 。

14．若平面向量α，β满足|α1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。

15．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙丙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。

记X 为该毕业生得到面试得公司个数。

若1(0)12P X ==，则随机变量X 的数学期望()E X =16．设,x y 为实数，若2241,x y xy ++=则2x y +的最大值是 ．。

17．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =;则点A 的坐标是 ．三、解答题;本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在ABC ∆中，角..A B C 所对的边分别为．已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =． （Ⅰ）当5,14p b ==时，求,a c 的值； （Ⅱ）若角B 为锐角，求p 的取值范围；19．（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a 为a （a R ∈）,设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列 （1）求数列{}n a 的通项公式及n S （2）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...nn B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n A 与n B 的大小．20．（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为的中点，⊥平面，垂足O 落在线段上，已知8，4，3，2 （Ⅰ）证明：⊥；（Ⅱ）在线段上是否存在点M ，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。

21．（本题满分15分）已知抛物线1C :3x ＝y ，圆2C :22(4)1x y +-=的圆心为点M（Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于，求直线l 的方程22．（本题满分14分）设函数R a x a x x f ∈-=,ln )()(2（I ）若)(x f y e x ==为的极值点，求实数a ；（）求实数a 的取值范围，使得对任意的]3,0(e x ∈，恒有)4(2e xf ≤成立，注：e 为自然对数的底数。

参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

11．0 12．5 13．2 14．5[,]66ππ15．5316．5 17．(0,1)± 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（I ）解：由题设并利用正弦定理，得5,41,4a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,41, 1.4a a c c =⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩或 （）解：由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-222222()22cos 11cos ,2231cos ,22a c ac ac B pb b b B p B =+--=--=+即因为230cos 1,(,2)2B p <<∈得，由题设知0,2p p ><<所以19．本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

满分14分。

（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由2214111(),a a a =⋅ 得2111()(3)a d a a d +=+因为0d ≠，所以d a =所以1(1),.2n n an n a na S +==（）解：因为1211()1n S a n n =-+，所以 123111121(1)1n n A S S S S a n =++++=-+ 因为1122n n a a --=，所以21122211()11111212(1).1212n nn nB a a a a a a --=++++=⋅=-- 当0122,21n n n n n n n C C C C n ≥=++++>+时，即1111,12n n -<-+ 所以，当0,;n n a A B ><时 当0,.n n a A B <>时20．本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：（I ）证明：如图，以O 为原点，以射线为z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O —则(0,0,0),(0,3,0),(4,2,0),(4,2,0),(0,0,4)O A B C P --，(0,3,4),(8,0,0)AP BC ==-，由此可得0AP BC ⋅=，所以AP BC ⊥，即.AP BC ⊥（）解：设,1,(0,3,4)PM PA PM λλλ=≠=--则BM BP PM BP PA λ=+=+ (4,2,4)(0,3,4)(4,23,44)λλλ=--+--=----(4,5,0),(8,0,0)AC BC =-=-设平面的法向量1111(,,)n x y z =， 平面的法向量2n 222(,,)x y z =由110,0,BM n BC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得11114(23)(44)0,80,x y x x λλ--++-=⎧⎨-=⎩即11110,23(0,1,)2344,44x n z y λλλλ=⎧+⎪=⎨+-=⎪-⎩可取 由220,0.AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222340,450,y z x y +=⎧⎨-+=⎩得222225,4(5,4,3).3,4x y n z y ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩可取 由12230,430,44n n λλ+⋅=-⋅=-得解得25λ=，故3。

综上所述，存在点M 符合题意，3。

方法二：（I ）证明：由，D 是的中点，得AD BC ⊥ 又PO ⊥平面，得.PO BC ⊥因为PO AD O =，所以BC ⊥平面，故.BC PA ⊥（）解：如图，在平面内作BM PA ⊥于M ，连， 由（I ）中知AP BC ⊥，得AP ⊥平面， 又AP ⊂平面，所以平面⊥平面。

在222,41,41.Rt ADB AB AD BD AB ∆=+==中得在222,Rt POD PD PO OD ∆=+中， 在222,,Rt PDB PB PD BD ∆=+中所以222236,PB=6.PB PO OD DB =++=得 在222Rt POA ,25, 5.PA AO OP PA ∆=+==中得又2221cos ,23PA PB AB BPA PA PB +-∠==⋅从而cos 2PB BPA =∠=，所以3。

综上所述，存在点M 符合题意，3。

21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

满分15分。

（I ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为： 1,4y =-所以圆心M （0，4）到准线的距离是17.4（）解：设222001122(,),(,),(,)P x x A x x B x x ， 则题意得00120,1,x x x x ≠≠±≠，设过点P 的圆C 2的切线方程为200()y x k x x -=-， 即200y kx kx x =-+①则20021,1k=+即222220000(1)2(4)(4)10x k x x k x -+-+--=，设，的斜率为1212,()k k k k ≠，则12,k k 是上述方程的两根，所以222000121222002(4)(4)1,.11x x x k k k k x x ---+==-- 将①代入222000,y x x kx kx x =-+-=得由于0x 是此方程的根，故110220,x k x x k x =-=-，所以222200012121200212002(4)422,.1ABMP x x x x x k x x k k x x k x x x x ---==+=+-=-=-- 由MP AB ⊥，得2200002002(4)4(2)(1)1AB MP x x x k k x x x --⋅=-⋅=--， 解得2023,5x =即点P 的坐标为2323(,)55±，所以直线l的方程为 4.115y x =±+22．本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。