1984全国高考文科数学试题
1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案
（这份试题共八道大题，满分120分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写
在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出
的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分
1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y
2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1(x)的图象 （ D ） （A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称
（C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称 3复数i 2
3
2
1
-
的三角形式是 （ A ） （A ）)3
sin()3cos(π-+π-i （B ）3
sin 3cos π+πi
（C ）3sin 3cos π-πi （D ）6
5sin 3cos π
+πi
4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ C ） （A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交 5．方程x 2-79x+1=0的两根可分别作为 （ A ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求
四．（本题满分12分）
已知等
差数列
a ,b,c
中的
三个数都是正数，且公差不为零求证
可能成等差
它们的倒数所组成的数列c
b a 1
,1,1不数列
证：如果c
b a 1,1,1成等差数列，那么
,,,1111c
c b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以
.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知
.1
1c
a = 两边都乘以a c ，得a =c.
但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾
从而c
b a 1,1,1不可能成等差数列
五．（本题满分14分）
把α-β-α-422cos sin 2sin 4
1
1化成三角函数的积的形式(要求结果最简）
1． Y 1 F （-1，0） O X
2． Y
1 -1
O X
)
-)sin(sin( )
2
sin 2sin 2()2cos 2(2cos )
cos )(cos cos (cos cos cos )cos (sin cos cos cos cos sin cos cos 2sin 4
1
)sin 1(:2222224222422βαβ+α=α
-βα+β-⨯α-βα+β=α-βα+β=α
-β=α+αα-β=α-αα-β=α
-α-β-=原式解
六．（本题满分14分）
如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D-ABC 的体积
解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直
如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，
所以
∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=300 CE=
AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒2
3
3230cos ,23602
用S 截表示△ABD 的面积，则
D β α B
C 300 E A
.8,2
1
21322=∴=⋅=
=AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则 S 底=.3164
3
2
12==
⋅AB CE AB ∵∠DEC=300，所以DC=4. ∴)(3
3
6443163131
2cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）
某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的
年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771)
解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2. 并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为
a 2,a 3, ….根据题意，数列{a n }是一个公比为
1.2的等比数列，其通
项公式为12.12-⨯=n n a
根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得
84
.1010791
.07781
.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .
12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台
答：略
八．（本题满分15分）
已知两个椭圆的方程分别是
C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2-6x-27=0.
1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标
2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程
1．解：把C 1的方程化为标准方程，得
.102,5,5315
45:2
21===∴=+c b a y x C
可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是0,102(),0,102(-
把C 2的方程化为标准方程，得
.24,2,614
36)3(:2
22===∴=+-c b a y x C
可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别
0,243(),0,243(-+2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,
02769,
04592
222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）
设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 因为A ，B 两点在圆上，所以有
⎩⎨
⎧--===++-=+++133,0.
01323,
01323D F E F E D F E D 解得 从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程
28,2056260
06912)422(50133)2
11(
222
2-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即
从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2-28x+71=0. 解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2） 所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以
01413:,2)3(4
1|11|222=--+-=++m m m m 化简得整理,解得m=-1,或
m=14.当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是
x 2+y 2+2x-19=0;
当m=14时，圆的半径55=r ，所求圆的方程是
x 2+y 2-28x+71=0.。