华东师大2009年数学分析考研试题一．判断下列各题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例.1.设()lim x ag x A →=，()lim y A f y B →=，此处,,a A B 均为实数，则()()lim x af g x B →=.2.设()f x 为闭区间[],a b 上不恒为零的连续函数，()D x 为Dirichlet 函数，则()()f x D x 在[],a b 上不可积. 3.存在实数0a ，n a ，n b ()1,2,n =使得()[][]011,1,2cos sin 20,4,5n n n x a a nx n nx x ∞=⎧∈⎪++=⎨∈⎪⎩∑. 4.已知()f x 在2x =处连续，且()2lim12x f x x →=-，证明()f x 在2x =处可导. 5.如果()f x 在0x 处可导，则()f x 在0x 的一个邻域内连续.6.若多项式函数列(){}n P x 在(),-∞+∞上一致收敛于函数()f x ，则()f x 必是多项式函数.二．计算下列各题1.设0a >，1a ≠，求极限()11lim 1xxx a a x →+∞⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭. 2.设圆盘()()222x a y b R -++≤上的各点的密度等于该点到其圆心的距离，求此圆盘的质量.3.设S 为3R 中封闭光滑曲面，l 为任何固定方向，n 为曲面S 的外法线方向，求()cos ,Sn l dS ⎰⎰.三．证明下列各题1.设0P 是曲面222222:1x y z S a b c++=外一点，1P S ∈，若100max P S PP PP ∈=，求证直线10P P 是S 在点1P 处的法线.2.设()322sin ,0,0,0y y x x f x y x y x ⎧⎪⎪≠=⎨+⎪=⎪⎩，证明(),f x y 在原点处沿任何方向的的方向导数存在，但不可微.3.设a b <，c d <均为实数，已知()f x 在(),a b 上单调，值域为(),c d ，证明()f x 在(),a b 上一致连续.4.设数列{}n a 满足条件：0n a >，()1,2,n =且24lim 0nn n n a a a →∞++=+，证明数列{}n a 无界.5.设()f x 在[)0,+∞上连续且有界，证明对任意正数T ，存在n x →+∞，使得()()()lim 0n n n f x T f x →∞+-=.6.设函数()f x 在闭区间[],a b ()a b <上可积，()0baf x dx =⎰，证明 若对任意[],x a b ∈，有()0f x ≠，则存在[][],,c d a b ⊆，()c d <使得对任意[],x c d ∈，均有()0f x >.华东师大2009年数学分析考研试题解答一．1.解 错误.反例. 设(),,B y Af y C y A ≠⎧=⎨=⎩，C B ≠，()g x A ≡，显然()lim x ag x A →=，()lim y A f y B →=，但()()f g x C =，()()lim x af g x C B →=≠.2.解 正确.由()f x 在[],a b 上连续不恒为零，可知，存在[][],,c d a b ⊆，使得()f x 在[],c d 上有()0f x M ≥>， 显然()()f x D x 在[],c d 上不可积， 从而()()f x D x 在[],a b 上不可积. 3.解 正确.可选取到周期为2π的连续可微函数()f x ，且当[]1,2x ∈时，()1f x =；[]4,5x ∈时，()0f x =，取0a ，n a ，n b 为()f x 的Fourier 系数，则有()()01cos sin 2n n n a a nx n nx f x ∞=++=∑，(),x ∈-∞+∞，结论得证. 4.解 正确，因为()()()()222lim lim202x x f x f f x x x →→==-=-， ()()()222limlim 122x x f x f f x x x →→-==--， 所以()f x 在2x =处可导. 5.解 错误.反例 设()2,0x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数，为有理数，显然()f x 在0x =处可导，但()f x 在0x ≠处不连续.6、设实系数多项式序列{()}n f x 在R 上一致收敛于实值函数()f x ，证明：()f x 也是多项式。

证明 因为实系数多项式序列{()}n f x 在R 上一致收敛于实值函数()f x ， 所以对任意0ε>，存在*N N ∈，使得当,m n N >时，有()()n m f x f x ε-<，又因为()()n m f x f x -也是多项式，若()()n m f x f x -不为常数，则当x 趋于无穷时，()()n m f x f x -也趋于无穷，矛盾。

所以,()()n m n m f x f x a -=，其中,{}n m a 为一无穷小序列。

由上面结论及()n f x 是多项式，可知当n N >时，()()n n f x P x b =+，其中()P x 为某一固定的多项式，{}n b 为某一收敛数（因为,n m n m b b a -=为柯西列） 因为由已知条件()()()()n n f x f x f x P x b -=--，一致收敛于0,及lim n n b b →∞=，所以有()()f x P x b =+，即()f x 也是多项式，结论得证。

二．1.解 ()11lim 1xxx a a x →+∞⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭1111lim lim 1xxxx x a a x →+∞→+∞⎛⎫-⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭11ln1lim x a x a x e--→+∞=，11lim ln 1xx a x a →+∞--1ln 1lim 1x x x a a a →+∞-= ln lim 1x x x a a a →+∞=-ln ,10,01a a a >⎧=⎨<<⎩，当1a >时，()11lim 1xxx a a a x →+∞⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭， 当01a <<时，()11lim 11x xx a a x →+∞⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭. 2.解 (),x y ρ=(),DM x y dxdy ρ=⎰⎰200R d r rdr πθ=⋅⎰⎰ 3312233R R ππ=⋅=. 3.解 设()123,,l l l l =，则()()()()123cos ,cos ,cos ,cos ,n l l n x l n y l n z =++， 利用高斯公式，则有()cos ,Sn l dS ⎰⎰()()()123cos ,cos ,cos ,Sl n x l n y l n z dS =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰312l l l dxdydz x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰00dxdydz Ω==⎰⎰⎰.三．1.证明 设()0000,,P x y z =，(),,P x y z =，()0,,f x y z PP ==，显然(),,f x y z 在S 上连续，S 为有界闭集，(),,f x y z 在S 上达到最大值， 设f 在()1111,,P x y z S =∈处达到最大值， 令()()()2222220002221x y z L x x y y z z a b c λ⎛⎫=-+-+-+++- ⎪⎝⎭， ()02220L xx x x a λ∂=-+=∂， ()02220L yy y y bλ∂=-+=∂， ()02220L zz z z cλ∂=-+=∂， 令()000222,,,,x y z x x y y z z a b c λ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭，在1P 处取到条件极值，必是L 的驻点，即得()1111,,P x y z =满足()111101010222,,,,x y z x x y y z z a b c λ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 曲面S 在1P 的法线方向为111222,,x y z a b c⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线10P P 是S 在点1P 处的法线. 2.证明 由(),(0,0)f x y f y -≤，即得()()()(),0,0lim,0,00x y f x y f →==，表及里所以(),f x y 在()0,0处连续，对任意方向()12,h h h =1=， ()()2112101sin ,0,0,0lim 0,0t hh f th th f h t h →⎧≠-⎪=⎨⎪=⎩， fh∂∂存在， 显然()0,00x f =，()0,00y f =，0→，0x ∆≠时，=的极限不存在，所以(),f x y 在()0,0处不可微.3.证明 因为函数()f x 的值域为开区间(),c d ， 所以()f x 在(),a b 上具有介值性质， 又()f x 在(),a b 上单调， 可以得到()f x 在(),a b 上连续，由()f x 在(),a b 上单调有界，所以()lim x bf x -→，()lim x af x +→存在且有限， 从而知()f x 在(),a b 上一致连续. 4.证明 用反证法假若数列{}n a 有界，存在0M >，使得0n a M <≤， 由条件知 ()2424lim lim0nn n n n n n n a a a a a a ++→∞→∞++=+=+，对14ε=，存在正整数N ，当n N ≥时， 有()24104n n n a a a ++<<+，(),1,n N N =+，令{}sup N n n Na β≥=，0N β>，则有()1142n N N N a βββ<+=，(),1,n N N =+，于是有12N N ββ≤，从而显然有0N β≤，这与0N β>矛盾，所以数列{}n a 无界.5、 设()f x 在区间(0,)+∞上连续有界，且对某个0T >，对所有0x >， 有()()f x T f x +≠，试证：存在数列{}(0,)n x ⊂+∞，lim n n x →∞=+∞，使得lim(()())0n n n f x T f x →∞+-=。

证明 ()()()g x f x T f x =+-，依题设条件，可得必有()0g x >或()0g x <，(0,)x ∈+∞ 不妨设()0g x >，(0,)x ∈+∞我们断定，0ε∀>，对于任意大的0A >，不可能对所有x A >，恒有()g x ε≥， 否则由()((1))()(1)nk g x kT f x n T f x n ε=+=++->+∑,((1))()(1)f x n T f x n ε++>++→∞,()x A ≥这与()f x 的有界性矛盾， 所以任取10n>，存在n x n >，使得1()n g x n <，所以lim(()())lim ()0n n n n n f x T f x g x →∞→∞+-==， 结论得证。