1、如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG 上，连接BE、DF，∠1=∠2 ，∠3=∠4.(1)证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，在△ABE和△DAF中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠3412DA AB，∴△ABE≌△DAF.（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=90o∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90o∴∠AFD=90o在正方形ABCD中，AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30o在Rt△ADF中，∠AFD=90o AD=2 ,∴AF=3, DF =1,由(1)得△ABE≌△ADF, ∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=1 3-.2、如图，,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F=⊥=∠于点，，平分交于点，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．【解析】（1）ADB ADC△≌△、ABD ABE△≌△、AFD AFE△≌△、BFD BFE△≌△、ABE ACD△≌△（写出其中的三对即可）.（2）以△ADB≌ADC为例证明．证明：,90AD BC ADB ADC⊥∴∠=∠=°.在RtADB△和Rt ADC△中，,,AB AC AD AD==∴Rt ADB△≌Rt ADC△.3、在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90º,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且AE=CF.(1)求证:Rt△AB E≌Rt△CBF;(2)若∠CAE=30º,求∠ACF度数.ACBDEFG1423【解析】（1）∵∠ABC=90°∴∠CBF=∠ABE=90°在Rt△ABE和Rt△CBF中∵AE=CF, AB=BC ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)(2)∵AB=BC, ∠ABC=90°∴∠CAB=∠AC B=45°∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°4、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．题20图【解析】∵点C是线段AB的中点，∴AC=BC，∵∠ACD=∠BCE,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠BCD,在△ACE和△BCD中，AC BCACE BCDCE CD⎧=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD.5、如图10，已知ADERtABCRt∆≅∆，︒=∠=∠90ADEABC,BC与DE相交于点F，连接EBCD,．（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：EFCF=．【解析】（1）ABEADC∆≅∆,EBFCDF∆≅∆（2）证法一：连接CE∵ADERtABCRt∆≅∆∴AEAC=∴AECACE∠=∠又∵ADERtABCRt∆≅∆∴AEDACB∠=∠∴AEDAECACBACE∠-∠=∠-∠ABCEF第22题图即DEC BCE ∠=∠∴EF CF=证法二：∵ADE Rt ABC Rt ∆≅∆∴EAD CAB AB AD AE AC ∠=∠==,,,∴DAB EAD DAB CAB ∠-∠=∠-∠ 即EAB CAD ∠=∠ ∴)(SAS AEB ACD ∆≅∆∴ABE ADC EB CD∠=∠=,又∵ABC ADE ∠=∠∴EBF CDF∠=∠又∵BFE DFC ∠=∠ ∴)(AAD EBF CDF ∠≅∠∴EF CF=6、如图，点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，BC ＝ED ，∠BCD ＝∠EDC ． （1）求证：AB=AE ；（2）连接BE ，请指出BE 与AF 、BE 与CD 分别有怎样的关系？（只需写出结论，不必证明）． 【解析】（1）证明：联结AC 、AD∵点F 是CD 的中点，且AF ⊥CD ，∴AC=AD ∴∠ACD=∠ADC ∵∠BCD ＝∠EDC∴∠ACB ＝∠ADE ∵BC=DE ，AC=AD ∴△ABC ≌△AED ∴AB=AE（2）BE ⊥AF,BE//CD,AF 平分BE7、如图l ，已知正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连结EB ，过点A 作AM ⊥BE ，垂足为M ，AM 交BD 于点F ． (1)求证：OE=OF ；(2)如图2，若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥BE 于点M ，交DB 的延长线于点F ，其它条件不变，则结论“OE=OF ”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．图1F M O CDBAE图2FMOCDBAE【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形． ∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OA 又∵AM⊥BE ，∴∠MEA+∠MAE ＝90︒=∠AFO+∠MAE∴∠MEA ＝∠AFO∴Rt △BOE ≌ Rt △AOF ∴OE=OF (2)OE ＝OF 成立证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BOE=∠AOF ＝90︒．OB ＝OAABCDE又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF＝90︒=∠B+∠OBE又∵∠MBF＝∠OBE∴∠F＝∠E∴Rt△BOE≌Rt△AOF∴OE=OF8、如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边∆ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时∆PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；【解析】（1）∠CMQ=∠CAP又由条件得AP=BQ，∴ABQ∆≌CAP∆(SAS)∴ACPBAQ∠=∠∴60=∠=∠+∠=∠+∠=∠BACCAMBAQCAMACPCMQ（2）设时间为t，则AB=BQ=t，PB=4-t当34,24,2,609000==-=∴=∠=∠t ttBQPBBPQB得时，当2),4(22,2,609000=-==∴=∠=∠tttPQBQBBPQ得时，∴当第34秒或第2秒时，∆PBQ为直角三角形（3）0120=∠CMQ不变。
60=∠=∠=CAPBACAB，等边三角形中，∴0120=∠=∠ACQPBC又由条件得BP=CQ，∴PBC∆≌ACQ∆(SAS)∴MQCBPC∠=∠又MCQPCB∠=∠∴0B在少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；（3）在∆DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使∆DCE与∆ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为x，这个四边形的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域.B C图1A【解析】 解：（1）点 M（2）经过t 秒时，NB t =，2OM t=则3CN t =-，42AM t =-∵BCA ∠=MAQ ∠=45 ∴ 3QN CN t ==-∴1 PQ t=+∴11(42)(1)22AMQ S AM PQ t t ==-+△22t t =-++∴2219224S t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∵02t ≤≤∴当12t =时，S 的值最大． （3）存在．设经过t 秒时，NB =t ，OM=2t 则3CNt =-，42AM t =-∴BCA ∠=MAQ ∠=45 ①若90AQM∠=，则PQ 是等腰Rt △MQA底边MA 上的高 ∴PQ是底边MA的中线∴12PQ AP MA ==∴11(42)2tt +=-∴12t = ∴点M 的坐标为（1，0）②若90QMA ∠=，此时QM 与QP 重合 ∴QM QP MA ==∴142tt +=-∴1t =∴点M 的坐标为（2，0）10、如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。
求证：ACF BDE ∆≅∆。
【解析】AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中AE BFAC BD =⎧⎨=⎩∴Rt ACE Rt BDF ∆≅∆(HL)∴A B ∠=∠AE BF =∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =在ACF ∆与BDE ∆中AF BE A B AC BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACF BDE ∆≅∆(SAS)11、如图，D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。
求证：2AC AE =。
【解析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF在ABE ∆与FDE ∆中AE FEAEB FED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE FDE ∆≅∆(SAS) ∴B EDF ∠=∠ADF ADB EDF∠=∠+∠，ADC BAD B ∠=∠+∠又ADB BAD ∠=∠∴ADF ADC ∠=∠AB DF =，AB CD =∴DF DC =在ADF ∆与ADC ∆中AD AD ADF ADC DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADF ADC ∆≅∆(SAS) ∴AF AC =又2AF AE =∴2AC AE =。
12、已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE【解析】在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ， ∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE。