2.3 牛顿（Newton ）法及其变形
一、Newton 迭代方法
牛顿迭代法计算公式的推导过程
设*x 是()0f x =的根，()f x 在*x 的邻域内具有二阶连续导数，在*x 的邻域内取一点0x ，使0()0f x '≠，则()f x 在*x 的邻域内连续，将它在0x 点二阶Taylor
展开得
2
0000000()()()()()()2!
()()()
f f x f x f x x x x x f x f x x x ξ'''=+-+-'≈+- 又()0f x =，则有
000()()()0f x f x x x '+-≈
故()0f x =的近似解000()()f x x x f x ≈-'，记0100()()
f x x x f x =-' 类似，在点1x 处Taylor 展开，可得：
111()()
f x x x f x ≈-'，记1211()()f x x x f x =-' 依次往下做，可得一般的迭代格式：
上述迭代格式称为求()0
f x=的解的牛顿迭代法。

几何意义
在点
00
(,())
x f x处作()
f x的切线，交x轴于一点，求该点的横坐标。

此切线方程为
000
()()()
y f x f x x x
'
-=-，
当0
y=时，得0
()
()
f x
x x
f x
=-
'
，正是
1
x的值。

类似地，在点(,())
k k
x f x作函数()
f x的切线，交x轴于一点，切线方程为
()()()
k k k
y f x f x x x
'
-=-，
当0
y=时，得
()
()
k
k
k
f x
x x
f x
=-
'
，正是
1
k
x
+
的值。

所以，牛顿迭代法又称为切线求根法。

例6用牛顿迭代法求方程x
x e-
=在0.5
x=附近的根。

解.将原方程化为()0
x
f x x e-
=-=，则牛顿迭代格式为
11k k x k k k x x e x x e
-+--=-+ 取00.5x =，迭代得
1230.566311 0.5671431, 0.5671433x x x === 与上一节例2-4相比,牛顿法的收敛速度快。

与埃特金法相当.
注意：牛顿法的几何意义说明了，迭代初值0x 必须足够接近*x ，否则可能不收敛或收敛与其它的根。

牛顿迭代法的流程图
二、Newton 迭代法的变形
牛顿法的优点:收敛速度快。

牛顿法的缺点:每次迭代要计算一次导数值'()k f x ，当()f x 表达式复杂或无明显表达式时求解困难。

简化的牛顿迭代法
1.主要思路:为了避免直接计算导数值，用某个定点上的值（或一常数M ）取代()k f x '，如，令0()M f x '=，则牛顿迭代法的迭代格式变为：
称它为简化的牛顿迭代法。

只要M 选择得当，上式总是收敛的，不过其收敛速度降为线性 . 2.几何意义
其几何意义可描述为用平行线代替牛顿法中的切线。

过点(,())k k x f x ，斜率为0()f x '的直线与x 轴有一交点，下面求出该交点的横坐标。

该直线的方程为
0()()()k k y f x f x x x '-=-
当0y =时，即为直线与x 轴交点的横坐标值，也就是简化的牛顿迭代方法中的
1k x +的表达式：
10()()
k k k f x x x f x +=-'
3.优缺点
优点：计算简单。

缺点：没有充分利用()f x 本身的特性，收敛速度慢，收敛阶为1。

割线法
1. 双点割线法
(1)基本思想:利用一阶差商11
()()k k k k f x f x x x ----取代牛顿迭代法中的()k f x '，则有
111
()()()
k k k k k k k f x x x f x f x x x +--=--- ， 即
上式称为双点割线法。

可以验证，在满足一定条件下，其收敛阶
(2) 几何意义
1k x +为过点11(,())k k x f x --与(,())k k x f x 的割线和x 轴交点的横坐标。

事实上，连接11(,())k k x f x --与(,())k k x f x ，得到一条直线，该直线的方程为：
11
()()()()k k k k k k f x f x y f x x x x x ----=-- 当0y =时，得到它与x 轴的交点的横坐标值，即1k x +：
111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---，。