简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。
运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。
(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用:一、运动时间的对称性例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动，若从O开始计时，经过3s质点第一次过M点；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点；则该质点第三次经过M点所需要的时间是（）A. 8sB. 4sC. 14sD.s 3 10【解析】设图中a、b两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O点向右运动，O→M运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，由运动时间的对称性知：s16T,s44T==质点第三次经过M点所需时间：△s14s2s16s2Tt=-=-=，故C正确；若开始计时时刻质点从O点向左运动，O→a→O→M，运动过程历时3s，M→b→M过程历时2s，有：s316T,s44T2T==+，质点第三次经过M点所需时间：△s310s2s316s2Tt=-=-=，故D正确，应选CD。
二、速度的对称性例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m，运动过程中的最大速率为v，从某一时刻算起，在半个周期内（）A. 弹力做的功一定为零B. 弹力做的功可能是0到2mv21之间的某一值C. 弹力的冲量一定为零D. 弹力的冲量可能是0到2mv之间的某一值【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小相等，方向相反。
由动能定理知，半个周期内弹力做的功为零，A正确；半个周期内振子速度变化量的最大值为2mv。
由动量定理知，弹力的冲量为0到2mv之间的某一值，故D正确，应选AD。
三、位移的对称性例3.一弹簧振子做简谐动动，周期为T，则下列说法中正确的是（）A. 若t 时刻和（t+△t ）时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则△t 一定等于T 的整数倍B. 若T 时刻和（t+△t ）时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则△t 一定等于T/2的整数倍C. 若△t=T ，则t 时刻和（t+△t ）时刻，振子运动的加速度一定相等D. 若△t=2T，则t 时刻和（t+△t ）时刻，弹簧的长度一定相等【解析】两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，说明振子位于同一位置，△t 不定等于T 的整数倍，A 错；振子两次经过同一位置时的速度大小相等、方向相反，但△t 不一定等于2T的整数倍，B错；在相隔一个周期T 的两个时刻振子位于同一位置，振子运动的加速度一定相等，C 正确；相隔△t=2T的两个时刻，振子位于对称位置，位移大小相等方向相反，这时弹簧的长度不同，D 错，应选C 。
四、回复力的对称性例4.如下图在质量为M 的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m （M ≥m ）的A 、B 两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突然剪断A 、B 间的连线，此后A 做简谐运动，当A 运动到最高点时，支架对地面的压力为（ ）A. MgB. (M －m)gC. (M+m)gD. (M+2m)g【解析】剪断细线的瞬间，弹簧对A 的弹力为kx=2mg ，A 受到向上的合外力为mg 。
当A 运动到上方最大位移处，由简谐运动的回复力的对称性知，A 将受到竖直向下的合外力，其大小仍为mg ，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力大小为Mg 。
应选A 。
例5.质量为M 的框架，如图放置，用轻弹簧连接质量为m 的A 物体，A 下面用细线吊一质量为2m 物体B ，上端固定在框架上，剪断细线，在A 运动的过程中，框架对地面的最小压力是多大？(M ≥m)解答：剪断细线后，A 将作简谐运动，设弹簧劲度系数为k ，其平衡位置在自然长度下X 0=mg/k 时，刚开始，弹簧伸长X=3mg/k ，故振幅为A=2mg/k ，由对称性，在最高点，弹簧将压缩X’=mg/k，弹簧对框架的作用力的kX’=mg，向上，故框架对地面的最小压力为(M-m)g 。
例6.在水中有一木块A ，其上置一质量为m 物块B ，当拿去B 后，A 恰能跳离水面，求A 物体的质量。
解答：拿走B 后，A 物体将作上下的简谐运动，刚开始，A 处于最低振幅位置，其回复力的大小应等于B 物体的重力，向上。
由于A 恰能跳离水面，故最高点就是此位置，其回复力应等于A 物体所受的重力，由于最高位置和最低位置的对称性，回复力应相等，故A 物质量应等于B 物的质量，∴M A =M B 例7.质量为m 1、m 2两物块间有一轻质弹簧如图所示放在水平地面上，在m 1上加一竖直向下的外力F ，撤去F 后，m 2恰能离开地面，求F 的大小。
解答：这一问题，用机械能守恒可解，但要用到弹性势能的公式，解答过程中也较繁。
我们利用简谐运动的对称性来分析这一问题。
撤去F 后，m 1将作简谐运动。
初始，在最低位置，回复力为F向上，由于m2恰能离开地面，此时m1在最高位置，弹簧由于伸长对m2的拉力为m2g，对m1的向下拉力也为m2g。
M1所受合力即回复力为(m1+m2)g。
最高点与最低点对称，故F=(m1+m2)g解答物理题有很多方法，但如果一个问题有对称性，首先考虑用对称法来解题，将能起到事半功倍的效果。
五、加速度的对称性例8.如下图所示，一劲度系数为k的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为M的薄板P，另有一质量为m的物块B放在P的上表面。
向下压缩B，突然松手，使系统上下振动，欲使B、P始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？【解析】将B、P 看成一个简谐振子，当B、P在平衡位置下方时，系统处于超重状态，B、P不可能分离，分离处一定在平衡位置上方最大位移处，当B、P间弹力恰好为零时两物体分离，此时B的回复力恰好等于其重力mg，其最大加速度为gamax=。
由加速度的对称性可知，弹簧处于压缩量最大处的加速度也为gamax=。
由牛顿第二定律得maxmaxa)mM(g)mM(kx+=+-，解得kg) mM(2xmax +=。
由此可见，灵活运用简谐活动的对称性解题，可使解题过程简捷明了，达到事半功倍的效果。
简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性。
在解答某些问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁。
例9.一个铁球从竖直在地面轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩到最大时( )A、球所受的合力最大，但不一定大于重力值B、球的加速度最大，且一定大于重力加速度值C、球的加速度最大，有可能小于重力加速度值D、球所受弹力最大，但不一定大于重力值如果仅从力、加速度和速度的变化来分析也很难得到结果。
而利用简谐运动的对称性解题则简单明了。
设想铁球轻放于弹簧上端。
理想情况下，它将上下简谐运动，平衡位置在其中点合力为0处。
在最高点时，合力为mg，弹簧提供的回复力在最低点与最高点对称，合力也为mg处同。
从高处下落压缩量必大于轻放时的压缩量，故合力必大于重力且向上，故本题只能选(B)。
也可设想小球与弹簧接触时即与弹簧连接，以后将是简谐运动，在最高处合力大于重力，故最低点合力与最高处相等，且必大于重力。
这样分析，就避免了用功能观点分析这一问题，清楚简洁。
例10.如图所示，三角形架质量为M，沿其中轴线用两根轻弹簧相栓接一质量为m的小球，原来三角形架静止在水平面上，现使小球上、下振动，已知三角形架对水平面的最小压力为零。
求：（1）当三角形架对水平面的压力为零时，小球的瞬时加速度：（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为k，则小球做简谐运动的最大位移为多大？（3）三角形架对水平面的最大压力？mg kx =1mgkx =2252123mv mgd mgd ⨯=-gd v 52=六:能量的对称性:例11.原长为30cm 的轻弹簧竖立于地面，下端固定在地面上（如图3a ）质量为kg m 1.0=的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm 。
如果物体从距离地面130cm 处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距离地面22cm 时，（不计空气阻力，取g=10m/s2，重物在地面时，重力势能为零）则（ ）A. 物体的动能为1JB. 物体的重力势能为1.08JC. 弹簧的弹性势能为0.08JD. 物体的动能和重力势能之和为2.16J解析 由题分析可知，当弹簧距离地面26cm 时的位置O 即是物体做简谐运动的平衡位置。
根据动能的对称性可知，物体与地面相距30cm 时C 位置的动能和距离22cm 时B 位置的动能相等（如图3b ）。
因此只要求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。
由机械能守恒定律可得：kE mgh =1JE k 110)30130(101.02=⨯-⨯⨯=-对于C 到B 的过程，根据机械能守恒定律有：弹E mgh ∆=2JE 08.0108101.02=⨯⨯⨯=-弹所以正确答案为：A 、C 。
例12.如图所示，一轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物体A 连接，物体A 又与一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂着物体B ，B 的下面又挂着物体C ，A 、B 、C 均处于静止状态。
现剪断B 和C 之间的绳子，则A 和B 将做简谐运动。
已知物体A 质量为3m ，B 和C 质量均为2m ，A 和B 振动的振幅为d 。
试求：（1）物体A 振动的最大速度；（2）振动过程中，绳对物体B 的 最大拉力和最小拉力。
【分析】（1）绳剪断前，弹簧伸长量为x1，剪断后，在振动的平衡位置，弹簧压缩x2，由于x1=x2，两个状态的弹性势能相等 （振动的振幅 d=x1+x2）； 由机械能守恒定律，有： 解得（2）B 振动到最低点时拉力最大为F1；振动到最高点时拉力最小为F2； B 在振动过程的最低点： 对B:F1-2mg=2ma 对A:3mg-kx1-F1=3ma解得：F1=2.8mg B 在振动过程的最高点：对B:2mg-F2=2ma 解得：F2=1.2mg【点评】:象这种利用简谐运动的对称性的能量类综合题，近几年来也时有出现。
基本思路为: （1）利用某两位置弹簧变化量的对称性从而推知该两位置弹性势能的对称性，如此题中最高点与平衡位置弹簧的压缩量与伸长量相同，故此两位置弹性势能相同。