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北京市海淀区高三数学上学期期中试题 理 新人教B版

数学(理科) 2013.11本试卷共4页,150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{1,1,2}A =-,{|10}B x x =+≥,则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D.{2}2.下列函数中,值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2xf x = D.()tan f x x =3. 在ABC ∆中,若tan 2A =-,则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中,已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -,若//OB AC ,则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ,则“2a a >”是“1a >”的(B )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-,则数列的前n 项和n S 的最小值是(B )A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7.已知0a >,函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-,则实数t 的取值范围为(D ) A. 2[,0)3- B.[1,0)- C.[2,3) D. (0,)+∞8.已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=,在下列给出结论中:①π是()f x 的一个周期;②()f x 的图象关于直线x 4π=对称;③()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中,正确结论的个数为(C ) A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。

9.10(21)d x x +=⎰___________.210. 已知数列{}n a 为等比数列,若13245,10a a a a +=+=,则公比q =____________.211. 已知23log 5,23,log 2ba c ===,则,,abc 的大小关系为____________.a b c >>12.函数π()2sin()(0,||)2f x x =+><ωϕωϕ的图象如图所示,则ω=______________,ϕ=__________.2π3,π613.已知ABC ∆是正三角形,若AC AB λ=-a 与向量AC 的夹角大于90,则实数λ的取值范围是__________.2λ>14.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足:①当[1,3)x ∈时,()1|2|f x x =--;②(3)3()f x f x =.设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,,,n x x x .若1a =,则123x x x ++=;若(1,3)a ∈,则122n x x x +++=________________.答案:14;6(31)n -三、解答题: 本大题共6小题,共80分。

解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。

15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A =,32,b c=ABC S ∆. (Ⅰ)求b 的值; (Ⅱ)求sin B 的值. 解:(Ⅰ)由60A =和ABC S ∆可得133sin602bc =---------------------------2分所以6bc =,--------------------------------------3分又32,b c = 所以2,3b c ==.------------------------------------5分 (Ⅱ)因为2,3b c ==,60A =,由余弦定理2222cos a b c bc A=+-可得------------------------------------7分2222367a =+-=,即a =.------------------------------------9分由正弦定理sin sin a bA B=可得------------------------------------11分2sin sin60B =,------------------------------------12分所以sin B =.------------------------------------13分 16. (本小题满分14分)已知函数2π()2cos (2)14f x x x =-++. (I )求()f x 的最小正周期;(II )求()f x 在区间ππ[,]64-上的取值范围.解:(I )π()cos(4)2f x x x =-+------------------------------------2分sin 4x x =+------------------------------------4分π2sin(4)3x =+------------------------------------6分()f x 最小正周期为πT 2=,------------------------------------8分(II )因为ππ64x -≤≤,所以ππ4π4333x -≤+≤-----------------------------------10分所以πsin(4)13x ≤+≤-----------------------------------12分所以π2sin(4)23x +≤, -----------------------------------13分所以()f x 取值范围为[.------------------------------------14分17.(本小题满分13分)如图,已知点(11,0)A ,直线(111)x t t =-<<与函数y =的图象交于点P ,与x轴交于点H ,记APH ∆的面积为()f t . (I )求函数()f t 的解析式; (II )求函数()f t 的最大值. 解:(I)由已知11,AH t PH =--------------------------------------1分所以APH ∆的面积为1()(111112f t t t =--<<. ---------------------4分 (II )解法1. 1'()(11)2f t t =⨯-=分由'()0f t =得3t =,-------------------------------------8分 函数()f t 与'()f t 在定义域上的情况下表:-----------------------------------12分 所以当3t =时,函数()f t 取得最大值8.------------------------------------13分 解法2.由1()(111112f t t t =-=-<< 设2()(11)(1),111g t t t t =-+-<<,-------------------------------------6分则2'()2(11)(1)(11)(11)(1122)3(3)(11)g t t t t t t t t t =--++-=--++=--.-------7分函数()g t 与'()g t 在定义域上的情况下表:------------------------------------11分 所以当3t =时,函数()g t 取得最大值,-----------------------------------12分 所以当3t =时,函数()f t 取得最大值8=.------------------------------------13分18.(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足:①20a >;②对于任意正整数,p q 都有2p q p q a a +⋅=成立.(I )求1a 的值;(II )求数列{}n a 的通项公式;(III )若2(1)n n b a =+,求数列{}n b 的前n 项和.解:(I )由②可得2112a a ⋅=,3122a a ⋅= -------------------------------2分由①可得12a =.-------------------------------3分(II )由②可得112n n a a +⋅=, ------------------------------6分所以数列{}n a 的通项公式2nn a =.------------------------------7分(III )由(II )可得21(1)421n n n n b a +=+=++,易得1{4},{2}n n +分别为公比是4和2的等比数列,------------------------------8分由等比数列求和公式可得124(14)4(12)1(416)214123n n n n n S n n ++--=++=-++--.--13分19.(本小题满分14分)已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =-++>.(I )当1a =时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程; (II )求()f x 的单调区间;(III )若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(I )因为1a =,2()42ln f x x x x =-+,所以2242'()(0)x x f x x x-+=>,------------------------------1分(1)3f =-,'(1)0f =,------------------------------3分所以切线方程为3y =-.------------------------------4分(II )222(1)22(1)()'()(0)x a x a x x a f x x x x-++--==>,----------------------------5分由'()0f x =得12,1x a x ==,------------------------------6分当01a <<时,在(0,)x a ∈或(1,)x ∈+∞时'()0f x >,在(,1)x a ∈时'()0f x <,所以()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞,单调减区间是(,1)a ; ---------------7分当1a =时,在(0,)x ∈+∞时'()0f x ≥,所以()f x 的单调增区间是(0,)+∞;-----8分 当1a >时,在(0,1)x ∈或(,)x a ∈+∞时'()0f x >,在(1,)x a ∈时'()0f x <.所以()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞,单调减区间是(1,)a . ---------------10分 (III )由(II )可知()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点,所以()f x 在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到,-------------------------12分即有(1)12(1)0f a =-+≤且2(e)e 2(1)e 20f a a =-++≤,解得2e 2e 2e 2a -≥-. ---------------------14分20.(本小题满分13分)已知数列{}n a 的首项1,a a =其中*a ∈N ,*1*,3,,31,3,.n nn nn a a l l a a a l l +⎧=∈⎪=⎨⎪+≠∈⎩N N 令集合*{|,}n A x x a n ==∈N .(I )若4a 是数列{}n a 中首次为1的项,请写出所有这样数列的前三项; (II )求证:{1,2,3}A ⊆;(III )当2014a ≤时,求集合A 中元素个数()Card A 的最大值. 解:(I )27,9,3;8,9,3;6,2,3.--------------------------------------3分(II )若k a 被3除余1,则由已知可得11k k a a +=+,2312,(2)3k k k k a a a a ++=+=+;若k a 被3除余2,则由已知可得11k k a a +=+,21(1)3k k a a +=+,31(1)13k k a a +≤++;若k a 被3除余0,则由已知可得113k k a a +=,3123k k a a +≤+;所以3123k k a a +≤+,所以312(2)(3)33k k k k k a a a a a +-≥-+=-所以,对于数列{}n a 中的任意一项k a ,“若3k a >,则3k k a a +>”. 因为*k a ∈N ,所以31k k a a +-≥.所以数列{}n a 中必存在某一项3m a ≤(否则会与上述结论矛盾!)若3m a =,则121,2m m a a ++==;若2m a =,则123,1m m a a ++==,若1m a =,则122,3m m a a ++==,由递推关系易得{1,2,3}A ⊆.---------------------------------------8分 (III )集合A 中元素个数()Card A 的最大值为21.由已知递推关系可推得数列{}n a 满足:当{1,2,3}m a ∈时,总有3n n a a +=成立,其中,1,2,n m m m =++.下面考虑当12014a a =≤时,数列{}n a 中大于3的各项: 按逆序排列各项,构成的数列记为{}n b ,由(I )可得16b =或9, 由(II )的证明过程可知数列{}n b 的项满足:3n n b b +>,且当n b 是3的倍数时,若使3n n b b +-最小,需使2112n n n b b b ++=-=-,所以,满足3n n b b +-最小的数列{}n b 中,34b =或7,且33332k k b b +=-,所以33(1)13(1)k k b b +-=-,所以数列3{1}k b -是首项为41-或71-的公比为3的等比数列,所以131(41)3k k b --=-⨯或131(71)3k k b --=-⨯,即331k k b =+或3231k k b =⨯+, 因为67320143<<,所以,当2014a ≤时,k 的最大值是6,所以118a b =,所以集合A 重元素个数()Card A 的最大值为21.---------------13分。

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