s第九章 线性系统的状态空间分析与综合9-1 设系统的微分方程为其中 u 为输入量， x 为输出量。

x 3x 2x u⑴ 设状态变量 x 1 x ， x 2 x ，试列写动态方程；⑵ 设状态变换 x 1x 1x 2 ， x 2x 1 2 x 2 ，试确定变换矩阵 T 及变换后的动态方程。

x 1 0 1 x 1 0x 1 解：⑴u ， y 1 0；x 2 2 x 1 x 13 x 211 1 x 212 1 1 1⑵T， T； T； A T AT ， B T B ， CCT ；x 2x 2 1 1 121 1x 1 1 0 x 1 1 x 1 得， T；u ， y 1 1。

12x 21 x 21x 29-2 设系统的微分方程为y 6 y 11y 6 y 6u其中 u 、 y 分别系统为输入、输出量。

试列写可控标准型 (即 A 为友矩阵 )及可观标准型 (即 A 为友矩阵转置 )状态空间表达式，并画出状态变量图。

解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为，；；61161y6 0 0 x y 0 0 1 x可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，ux 3s-1x 2s-1x 1s-1x 16yu6x 1s-1 x 1x 2s-1 x 2x 3-1x 3y-6116---61169-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为x 1 、 x 2 、 x 3 。

试求动态方程，并画出状态变量图。

U (s)2X 2(s) s 32s(s 1)X 1(s)= Y(s)-- X 3(s)s解：由图中信号关系得，x 1 x 3 ， x 20 0 2x 1 1 3 x 2 02u ， x 32 x 23 x 3 ， y x 1 。

动态方程为x2 0 状态变量图为0 0 66 x 1 0 11 x0 u0 160 1 0 0 x 0 0 1 x 0 u 03 x 2 u ， y 1 0 0 x ； 21u x22- - s-1x2 23x3s-1x3- 3-1x1y9-4 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程x1 x2 u1x2 x3 2u1 u2y1 x1 x2，，x3 6x111x26x3 u2y2 2x1 x2 x3写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。

解：状态方程x 0 1 00 0 1 x6 11 61 02 1 u ，y0 11 1 0x；2 1 1状态变量图为u2x3 s-1 x3- 1162x2 s-1 x2--u1x1s-1x12y2y19-5 已知系统传递函数为G(s) s2 6s 8 s2 4s 3，试求出可控标准型( A为友矩阵)、可观标准型( A为友矩阵转置)、对角型( A为对角阵)动态方程。

解：G(s)2 s 521.510.51 ；可控标准型、可观标准型和对角型依次为s 4s 30 1x x3 4 s 1 s 30 0u x1 ； 13 5x u x4 2 ；1 0 1.5x u0 3 0.5 。

y 5 2 x u y 0 1 x u y 1 1 x u 9-6 已知系统传递函数为试求约当型( A 为约当阵)动态方程。

G(s)5(s 1) 2 ( s 2)，2 0 0 5解：G(s)5 5s 2 (s 1)5(s 1)2；x0 1 1 x0 0 15 u ，y51 1 0 x 。

9-7 已知系统的状态方程为1 0 1x x u ，1 1 1 s-3 22初始条件为 解法 1：x 1 (0) 1 ， x 2 (0) 0 。

试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。

1s 1 0et 0(t ) L 1；1 s 1 te te te t 0 1 t e t0 1et et 12et 1x解法 2：tete t 0 0(t )e td e t 1 1 s te t1te t1s 。

2te t11s21x( s) (sI A) 1{ Bu(s) x(0)}s( s 11)2s (s 2e t1 1)21s(s ；1)22s9-8已知系统的状态转移矩阵x L [ x(s)]。

2te t(t)3e tt2e2t 2 t2e t t2e2t 2 t，试求该系统的状态阵 A 。

1 2 3e3e 2e3e解： A(t )t 0。

(注：原题给出的34(t) 不满足(0) A 及 (t ) A (t) (t ) A 。

)9-9 已知系统动态方程x0 1 0 2 3 0 x 11 30 1 u ， y 20 0 1 x ，试求传递函数 G(s) 。

解： G (s )C (s I A ) 1B ，1s1 0 0s29 s 30 0 G( s) 0 0 1 2 1s 3 0 1s 31 0 0 1 s 37s 622s 6 s 5s 23ss 1 s20 1 ；3s 2 29-10 试求所示系统的传递函数矩阵。

G( s)2s 2s37 s 3 。

7s 6解： ( sIA)0 1 x 0 0 6 11 1s10 0 s 10 1 1 x 261 s6s 01 111s u ， ys611 2 16s 11 6 0x 。

1s 6 1 s6ss ；26 11 s 6 6s11s 6 s122G(s)1s36s2111s 6 2s26s 11 1 0 6 11s 6s26 s 1 1 0 s2 1 ； 26 s1s24s 29 11s 6 s1s24s 59-11 已知差分方程G(s)s36s211s 64s 228。

4s 4y(k 2) 3 y(k 1) 2 y(k) 2u(k 1) 3u(k ) ，试列写可控标准型 ( A 为友矩阵 )离散动态方程，并求出u( k) 1 时的系统响应。

给定 y(0) 0 ，y(1) 1 。

解：系统的脉冲传递函数为G( z)2 z 3z23 z，U ( z) 2z； x(k 1)z 10 1 x(k )230 u(k) ， 1y(k)3 2 x( k) 。

Y(z) G( z){U ( z) y(0) z 2y(1) z3 y (0)}2 z3( z 1)( z 3z21)( z 2)5 z6(z 1) z2(z 1) 2z；3(z 2)9-12 已知连续系统动态方程为y(k )5 ( 1) k6 2 2k 1 。

30 1 0 xx0 21u ， y1 0 x ，设采样周期 T 1 s ，试求离散化动态方程。

解：设(sIu(t )A)u(k) ， kT1s 1t (k 11) T 1 / s ；1 /[ s( s 2)] ，(t )1 0.5(e 2t1)；0 s 2 21/( s 2)e2t2 (T) 1 0.5(e 1) ，0 e2T0 (T t)dt120.25(e 3) ；0.5(e1)x( k 1)1 0.5(e 0e1)x(k)0.25(e 0.5(e 3) u( k) ，1)y(k ) 1 0 x(k) 。

9-13 判断下列系统的状态可控性：u ； 2222 2 1 01 1 0 0 ⑴ x 02 0 x 0 u ； ⑵ x 0 1 0 x 1 u ； 140 10 1 1 01 1 00 04 0 01 ⑶ x 0 1 0 x 0 1 u ； ⑷ x 0 4 0 x20 1 01 0112110 0 0 10 ⑸xx0 1 u ； ⑹ x110 0 0 0 110 x0 u 。

11 0211 1⑸U0 0 1 3 10 1 2 1 3 1 ⑹U，rankU 1 14 ；状态完全可控；9-14 已知 ada bc ，试计算c 100bd解：矩阵 A 的特征方程为 (s ) s2( a d ) s 0 ， 据凯莱哈密尔定理得知：A2(a d ) A 0 ， Ak 1100( a d) A k ； A 100( a d ) 99A ；a b ( a d )99a b 。

c dc d9-15 设系统状态方程为且状态完全可控。

试求 a 、 b 。

1 1 xxu ，1 ab 0 0 11 0 0 0210 1 2解：⑴ U0 0 0 ， rankU 2 n ；状态不完全可控；110 1 2⑵ U1 1 1 ， rankU2 n ；状态不完全可控；0 1 20 0 0 1⑶ U 10 1 0 1 ， rankU 1 3 ；状态完全可控；1 0 1 114 16⑷ U2 8 32 ， rankU 2 n ；状态不完全可控；1110 12 23 2 31 1 1 12 3 ， rankU 3 n ；状态不完全可控；1 1 1 12 3 122223 1 1 12 32221 b21 解： U， detU ab 1 b0 ，只需 a b。

b ab 1b9-16 设系统传递函数为且状态完全可控。

试求 a 。

G(s)s s37 s2a ，14s 8解：可控标准型实现的系统，无论a 取何值，系统状态完全可控。

在可观标准型实现中8detU a37 a214a 8 0 ；只需 a 1、 a2 且 a 14 ，a 7 4 。

注：由 G( s) 分子和分母的多项式互质条件，同样得到a37a214a 8 0 。

9-17 判断下列系统的输出可控性：a0 0 0 b 0 ⑴ x0 0 c 00 0 0 0 0 0 xu ， y0 1 d 11 0 00 x 。

0 1 00 ⑵ x0 01 x 0 u ， y1 0 0 x ；6解：输出可控性判别矩阵 oA n 1B]CU 。

⑴ U2 c c3 ， S oc[0 0 0 0] ， rank S o0 q ，系统的输出不可控。

d d2d 30 11 0 ， S o [ 0 0 00 1] ， rankS o 1q ，系统的输出可控；9-18 判断下列系统的可观测性：1 2 2 22 0 0⑴ x0 1 1 x 0 u ， y1 1 0 x ；⑵ x0 2 0 x ， y 1 1 1 x ；1 0 1 10 3 11 1 0 00 1 0 ⑶ x0 x ， y1 0 0 00 0 8 aa 0 x1 0 14 x 1 u， y 0 01 x ； U 1 a0 170 111 6 1S [CB CAB CA n 1B] C [ B AB0 0 0 0 01 10 ⑵ U12 1 0 x ；⑷ x0 2 0 x ， y 0 1 1 x 。

0 030 0 2 1 0 01 0 02解：应用可观测性判别矩阵。

⑶ V 2， rankV 4 ；系统完全可观测；9-19 试确定使下列系统可观测的a 、b ：a 1 x0 bx ， y 11 x 。

解： V11 a 1 b， detV1 b a 0 ，只需 ab 1 。

9-20 已知系统各矩阵为1 3 20 11 0 0 A0 4 2 ， B 0 0 ， C ，0 0 11 00 0 1试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。