一元二次方程知识网络详解：考点 1．一元二次方程的定义：形如ax bx c 0（a 0）的关于x 的方程为一元二次方程．考点 2．一元二次方程的解法：先尝试“因式分解法” ；不能分解时可选择“配方法”或者“求根公式法”b b24acx1,2求根公式：2a考点 3．一元二次方程的判别式：b2 4ac有两个不相等的实数根：0有两个相等的实数根：0 无实数根：0有实数根：0 考点 4．一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：2若0 时，设x1、x2为一元二次方程ax bx c 0（a 0）的两个实数根，那么：bcx1 x2 x1 x2a ，a考点 5．一元二次方程应用题（数字问题，互赠问题，面积问题，增长率问题，利润问题）【课前回顾】形的斜边是（）A. 3B.3C.6D. 62、关于x 的方程m 1 x22mx m0有实数根，则 m 的取值范围是（）A. m 0且 1B. m0C. m 1D. m 13、关于 x 的一元二次方程（k-1）x 2-4x-5=0 有两个不相等实数根 , 则 k 的取值范围是4、某工厂计划在两年内把产量提高44%，如果每年的增长率都和上一年相同，则平均每年的增长率是。
5、解方程（1）x 2 225 0 （2）2x2 10x 31、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角三角经典例题讲解：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（ ）211A3x 1 22 x1B220xxC ax 2 bx c 02D x 22xx2 1变式：当k时，关于 x 的方程 kx 2 2x x 2 3是一元二次方程。
例 2、方程 m 2 x m3mx 1 0 是关于 x 的一元二次方程， 则 m 的值为 变式练习：1、方程 8x 27 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程 m 2 x m 10是关于 x 的一元一次方程，⑴求 m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。
3、若方程 m 1 x 2m ?x 1是关于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是4、若方程 nx m+x n-2x 2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1 考点二、方程的解例 1、已知 2y 2 y 3 的值为 2，则 4y 22y例 2、关于 x 的一元二次方程 a 2 x 2 x a2例 3、已知关于 x 的一元二次方程 ax 2bx c 必有一根为 。
例 4、已知 a,b 是方程 x 24x则 m 的值为。
1 的值为 。
4 0的一个根为 0，则 a 的值为0 a 0 的系数满足 a c b ，则此方程3) (x 3)2 (1 2x)24)1x2 3 x 20 3 2 32m 0的两个根， b,c 是方程 y 28y 5m 0的两个变式练习：21、已知方程x2 kx 10 0的一根是 2，则 k为，另一根是2x 12、已知关于 x 的方程x2 kx 2 0 的一个解与方程3的解相同。
x1⑴求 k 的值；⑵方程的另一个解。
223、已知 m 是方程x2 x 1 0 的一个根，则代数式m2 m224、已知a 是x2 3x 1 0 的根，则2a2 6a25、方程a b x2 b c x c a 0的一个根为（ A 1 B 1 C b c6、若2x 5y 3 0,则4x ?32y。
考点三、解法类型一、直接开方法：x2 m m 0 , x m变式练习：下列方程无解的是（x 22ax a2※※对于x a2 2m ，ax m2bx n 2等形式均适用直接开例 1、解方程：12x2 8 0; 22 25 16x223 1 x 2 9 0;例 2、若9 x 21 2 16 x 2 则 x 的值为22A.x2 3 2x2 1B. x20 C.2x 3 1 2290 1 x20 x x1, 或x x2※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如ax m 2 bx n 2，x a x b xa xc例 1、2x x 3 5x 3 的根为（5 B x35 3D2 A xC x 1,x 2 x21 2 25例 2、若 4x 2y3 4x y 4，则 4x+y 的值为。
变式 1： a 2b 2 222a b 60, 则 a 2b 2。
变式 2：若 x y2x y 30 ，则 x+y 的值为。
变式 3：若 x 2xy y 14 ， y 2xy x 28 ，则 x+y 的值为。
例 3、方程x 2x6 0 的解为( )A.x 1 3，x 2 2B.x 1 3，x 22 C.x 1 3，x 23 D.x 12，x 2 变式练习：1、下列说法中：①方程 x 2 px q 0 的二根为 x ， x 2 ，则 x 2px q (x x 1)(x x 2)② x 26x 8 (x 2)(x 4).③ a 2 5ab 6b 2 (a 2)(a 3)④ x 22 y(xy)( x y)( x y)⑤方程 (3x 1)27 0 可变形为 (3x 1 7)(3x 1 7) 0正确的有( )A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 2、以17与1 7 为根的一元二次方程是()A ． x 22x 6 0B ． x 22x 6 03、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：2 C ． y 2y 6 0 2D ． y 2y 6 00 ，则 x+y 的值为(C 、1或-2 D 、 1或2b2ab 24ac 4a 20 a 04、若实数 x 、 y 满足※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1、试用配方法说明x2 2x 3的值恒大于 0。
例2、已知 x、y 为实数，求代数式x2 y2 2x 4y 7 的最小值。
例3、已知x2 y2 4x 6y 13 0，x、y为实数，求x y的值。
例4、分解因式：4x2 12x 3变式练习：21、试用配方法说明10x2 7x 4 的值恒小于 0。
2 1 1 12、已知x22x 4 0 ，则x .x x x3、若t 2 3x212x 9 ，则 t 的最大值为，最小值为例 1、选择适当方法解下列方程：22⑴ 31 x 2 6. ⑵ x 3 x 6 8. ⑶ x2 4x 1 0⑷ 3x2 4x 1 0 ⑸3 x 1 3x 1 x 1 2x 5例 2、在实数范围内分解因式： 1) x 22 2x 3；(2) 4x 2 8x 1. ⑶ 2x 2 4xy 5y2例 2、关于 x 的方程 m 1 x 2 2mx m 0 有实数根，则 m 的取值范围是 (例 3、已知关于 x 的方程 x 2k 2 x 2k 0 (1) 求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。
变式练习：21、当 k 时，关于 x 的二次三项式 x 2kx 9 是完全平方式。
2、当 k 取何值时，多项式 3x 24x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？3、已知方程 mx 2mx 2 0有两个不相等的实数根，则 m 的值是 .y kx 2,4、 k 为何值时，方程组 2例 1、若关于 x 的方程 x 22 kx1 0有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是A.m 0且m 1B.m 0C.m 1D.m 1例 4、已知二次三项式 9x 2(m 6)x m 2 是一个完全平方式，试求 m 的值 .例 5、 m 为何值时，方程组 2x mx 2y 2y6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？ 3.y24x 2y 1 0.1)有两组相等的实数解，并求此解；2）有两组不相等的实数解；3）没有实数解 .例 1、关于 x 的方程m 1 x2 2mx 3 0⑴有两个实数根，则 m 为 , ⑵只有一个根，则 m 为。
例1、不解方程，判断关于 x 的方程x2 2 x k k 23根的情况。
22例 3、如果关于 x 的方程x2 kx 2 0及方程x2 x 2k 0 均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k 的值；若没有，请说明理由。
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90 张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金1600 万元，第二年比第一年减少1，第三年比第1少1，该产品第一年收入资400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收1回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到30.1，13 3.61 ）4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出 500 千克，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少？5、将一条长 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B 两地间的路程为 36 千米 .甲从 A地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2 小时 30 分到达 B地，乙再走 1 小时 36分到达 A地，求两人的速度 .例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2 8x 7 0 的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A. 3B.3C.6D. 6例 2、已知关于 x 的方程k 2x2 2k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根x1,x2，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。
3.方程x(x 3) (x 3)解是( )A ．x 1=－4， x 2 =3B ．x 1=4，x 2 =－3C ．x 1=－4，x 2 =－3D ．x 1=4，x 2 =3例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为 -9 和 -1。