(2)将x=x’-2, y=y’+3.代入曲线 2得: 将 代入曲线C 代入曲线
( x + 2 ) 2 ( y − 3) 2 + =1 16 9
平移坐标系,化简方程 并作出方程的曲线. 例2:平移坐标系 化简方程 2-2y2-6x+4y+3=0;并作出方程的曲线 平移坐标系 化简方程:x 并作出方程的曲线
二,应用 应用
坐标系的平移公式
1.平移坐标系化简方程 平移坐标系化简方程. 平移坐标系化简方程
x = x'+h x' = x − h ⇒ y = y'+k y' = y − k
平移坐标系,把坐标原点 移动到o’(-2,3). 例1.平移坐标系 把坐标原点 移动到 平移坐标系 把坐标原点O移动到 (1)求原坐标系中的曲线 1:y2-4x-6y+1=0 在 新坐标系中的方程 求原坐标系中的曲线C 新坐标系中的方程; 求原坐标系中的曲线
求方程4x 所表示的曲线的中心坐标,焦点坐 例3:求方程 2+9y2-16x+18y-11=0所表示的曲线的中心坐标 焦点坐 求方程 所表示的曲线的中心坐标 并作出它的图形. 标;并作出它的图形 并作出它的图形 2 2 解:将原方程配方得 将原方程配方得. 将原方程配方得 令x’=x-2,,y’=y+1, 则得椭圆 在坐标系 则得椭圆C在坐标系 在坐标系x’o’y’中的方程是 中的方程是: 中的方程是 y Y’ 系下： 在x' o' y' 系下：中心 o' (0,0), 焦点F1 ( − 5 ,0), F2 ( 5 ,0);
同号,则方程 一般表示椭圆. 若ac>0,且a,c与f’同号 则方程 ③ 一般表示椭圆 且 与 同号 特殊情况:当 表示圆;当 表示一个点;当 与 的符号相反时 无轨迹. 的符号相反时,无轨迹 特殊情况 当a=c时,表示圆 当f’=0时,表示一个点 当a,c与f’的符号相反时 无轨迹 时 表示圆 时 表示一个点 我们把 时的二次方程叫做椭圆型方程. 我们把ac>0时的二次方程叫做椭圆型方程 时的二次方程叫做椭圆型方程
2 O
o’ 1
x’ x
如图,点 在坐标系 在坐标系xoy中的坐标为 中的坐标为(1,2).在坐标系 在坐标系x’o’y’中的坐标为 中的坐标为(0,0). 如图 点 o’在坐标系 中的坐标为 在坐标系 中的坐标为 而以点o’为顶点的抛物线的方程 在坐标系xoy中的方程为 而以点 为顶点的抛物线的方程,在坐标系 中的方程为: 为顶点的抛物线的方程 在坐标系 中的方程为 在坐标系x’o’y’中就是 中就是: 在坐标系 中就是
课题： 课题： 坐标系的平移 教学目的： 教学目的： 1 正确理解坐标系平移的概念，初步掌握平移公式解决有关的 正确理解坐标系平移的概念， 问题； 问题； 2 通过学习坐标系的平移，使学生深刻认识到变换思想、化归 通过学习坐标系的平移，使学生深刻认识到变换思想、 思想 和数形结合思想在解决问题中的重要性； 和数形结合思想在解决问题中的重要性； 3 在问题解决过程中，培养学生勇于探索和敢于创新精神，并 在问题解决过程中，培养学生勇于探索和敢于创新精神， 逐步提高学生解决问题的能力。 逐步提高学生解决问题的能力。 教学重点：坐标系的平移。 教学重点：坐标系的平移。 教学难点：平移公式的运用. 教学难点：平移公式的运用 教学方法：启发探究式。 教学方法：启发探究式。 教学过程: 教学过程 引入:我们知道 一,引入 我们知道 点的坐标和曲线的方程是对于某个确定的坐标 引入 我们知道,点的坐标和曲线的方程是对于某个确定的坐标 系来说的.同一个点 在不同的坐标系中有不同的坐标,同一条曲线 同一个点,在不同的坐标系中有不同的坐标 系来说的 同一个点 在不同的坐标系中有不同的坐标 同一条曲线 在不同的坐标系中有不同的方程.如图 如图,点 在坐标系xoy中的坐 在不同的坐标系中有不同的方程 如图 点 O’在坐标系 在坐标系 中的坐 标为(1,2).在坐标系 在坐标系x’o’y’中的坐标为 中的坐标为(0,0).而以点 为顶点的抛物 而以点O’为顶点的抛物 标为 在坐标系 中的坐标为 而以点 线的方程,在坐标系 在坐标系xoy中的方程为 中的方程为: 线的方程 在坐标系 中的方程为 2 x. − 2 x − y + 3 = 0 .在坐标系 在坐标系x’o’y’中就是 中就是: 在坐标系 中就是 x'2 − y ' 0 可以看出:虽然点还是同一个点 曲线还是同一曲线,但是由于坐标 虽然点还是同一个点,曲线还是同一曲线 可以看出 虽然点还是同一个点=曲线还是同一曲线 但是由于坐标 系改变了,点的坐标和曲线的方程也就随之改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了. 系改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了
2 2 d e d e a x+ +c y + = + − f L ② L 2a 2c 4a 4c 2 2
令 x' = x +
d e ,则方程②可化为 则方程② 则方程 , y' = y + 2a 2c d 2 e2 ax’2+cy’2=f’ (其中f ' = + − f )LL ③ 其中 4a 4c
F
p =2 2
O’ p = 2 -3 2
1 o
X’ x
2.方程 2+cy2+dx+ey+f=0的讨论 方程ax 的讨论. 方程 的讨论 对于缺xy项的二元二次方程 不全为零) 对于缺 项的二元二次方程ax2+cy2+dx+ey+f=0(a,c不全为零 ① 项的二元二次方程 不全为零 一般可以通过配方将①化为标准方程的形式 一般可以通过配方将①化为标准方程的形式. 将方程① ⑴当ac≠0时,将方程①配方 得 时 将方程 配方,得
如图, 坐标系x’o’y’是坐标系 是坐标系xoy经过平移向量 OO' 如图 坐标系 是坐标系 经过平移向量 得到的,设点 在坐标系 中的坐标是(h,k), 得到的 设点O’在坐标系 设点 在坐标系xoy中的坐标是 中的坐标是 中的坐标分别是(x,y)和 点 A 在坐标系 xoy 和x’o’y’中的坐标分别是 中的坐标分别是 和 (x’,y’); 问: (x,y) 和 (x’,y’) 之间有什么关系 之间有什么关系? 由图知; 由图知 y A (x,y) (x’,y’) O’(h,k) x’ x
OA = OO' + O' A
o
⇒ ( x , y ) = ( h, k ) + ( x' , y' ) ⇒ ( x'+ h, y'+ k )
x = x'+ h x' = x − h L① ⇒ y = y'+ k y' = y − k
坐标系的平移公式
为新坐标系的原点o’在原坐标系下的坐标 注:(h,k)为新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标 为新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标. 原坐标系中的原点o在新坐标系下的坐标是 问:原坐标系中的原点 在新坐标系下的坐标是 原坐标系中的原点 在新坐标系下的坐标是?
坐标系的平移公式 x' = x − h 代入方程得. 解: 法1(公式法 ) 把x=x’+h, y=y’+k 代入方程得 x = x'+h 公式法 ⇒ y = y'+k y' = y − k (x’+h)2-2(y’+k)2-6(x’+h)+4(y’+k)+3=0 即.
求出其中心,焦点 顶点坐标 求出其中心 焦点,顶点坐标 渐近线方程 焦点 顶点坐标,渐近线方程 X’2-2y’2+(2h-6)x’-(4k-4)y’+h2-2k2-6h+4k+3=0…① ① 令
(x−2) (y+1) + =1 9 4
x'2 y'2 + = 1. 9 4
5 ,−1)
系下： ∴ 在xoy系下：
o
F1
cห้องสมุดไป่ตู้
c O’
x X’
中心(2,-1), 焦点 2 − 5 ,−1) 和 ( 2 + 焦点( 中心
F2
x2 3 17 + x+ 的顶点,焦点坐标 准线方程. 焦点坐标,准线方程 例4;求抛物线 y = 求抛物线 的顶点 焦点坐标 准线方程 8 4 8
x2 −2x − y +3= 0 x'2 −y' = 0
可以看出:虽然点还是同一个点 曲线还是同一曲线 可以看出 虽然点还是同一个点,曲线还是同一曲线 虽然点还是同一个点 曲线还是同一曲线, 但是由于坐标系改变了,点的坐标和曲线的方程也就随之改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了. 但是由于坐标系改变了 点的坐标和曲线的方程也就随之改变了
配方得: 解:配方得 (x+3)2=8(y-1) 配方得
x' = x + 3 x = x '− 3 令 ⇒ y' = y − 1
y = y '+ 1
Y’ y
在新坐标系下.x’ ∴o’(-3,1) 在新坐标系下 2=8y’ 在新坐标系下:顶点 准线:y’=-2 在新坐标系下 顶点o’(0,0) F(0,2),准线 顶点 准线 在原坐标系下:顶点 焦点F(-3,3), 在原坐标系下 顶点o’(-3,1),焦点 顶点 焦点 准线y=-1 准线
有意义的是:如果把坐标系作适当的变换 有意义的是 如果把坐标系作适当的变换, 如果把坐标系作适当的变换 那么曲线的方程就可以简化,这对于研究曲 那么曲线的方程就可以简化 这对于研究曲 线的性质将带来方便. 线的性质将带来方便