莆田一中2020-2021学年上学期期末试卷高三数学（理科）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分；每题只有一个正确答案）1. 函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是( ) (A)（-2，-1） (B)（-1,0） (C)（0,1） (D)（1,2）2. 设{a n }是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =, 则5S =( ) （A ）152 (B)314 (C)334 (D)1723. 设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=( )（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）14. 设椭圆以正方形的两个顶点为焦点且过另外两个顶点，那么此椭圆的离心率为( )(A) 21- (B)22(C) 512- (D) 22或21-5. E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ ） (A)1627 (B)23 (C) 33 (D) 346.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63．5万元B ．64．5万元C ．67．5万元D ．71．5万元7．在ABC ∆中，下列说法不正确的是（ ） (A) sin sin A B >是a b >的充要条件 (B) cos cos A B >是A B <的充要条件(C) 222a b c +<的必要不充分条件是ABC ∆为钝角三角形 (D) 222a b c +>是ABC ∆为锐角三角形的充分不必要条件8．将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次．．成等差数列的概率为（ ） Ａ．19Ｂ．112Ｃ．115Ｄ．1189. 已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为( ) (A)32 (B)62(C) 3 (D)610. 直线：y=333x +与圆心为D 的圆：22(3)(1)3x y -+-=交于A 、B 两点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为( )(A) 76π (B) 54π (C) 43π (D) 53π二、填空题：（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。

请把答案填在答题纸的相应位置）11．若{(41)2(1)log (2)(1)()a a x a x x x f x --≥-<=为R 上的增函数，则a 的取值范围是 。

12.抛物线22y px =的焦点为F ，一直线交抛物线于A,B 且3AF FB =，则该直线的倾斜角为 。

13．某三棱锥有五条棱的长度都为2，则当该三棱锥的表面积最大时其体积为 。

14．若()3ln a f x ax x x=+-在区间[]1,2上为单调函数，则a 的取值范围是 。

15．如图在平面直角坐标系xOy 中，圆222r y x =+（0>r ）内切于 正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP aOA bOB =+（a 、R b ∈）， 则a 、b 满足的一个等式是______________________。

三．解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 16 .(本题满分13分)设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭满足()3f π-(0)f =， A BCDO yx（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()f x 在11424ππ⎡⎤,⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值 17．（本题满分13分）抛物线C ：y=a 2x 的准线为y=12-，PM,PN 切抛物线于M,N 且与X 轴交于A,B,AB =1.(1)求a 的值；(2)求P 点的轨迹。

18．（本题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的菱形，且060DAB ∠=, ,E F 分别是,BC PC 的中点， FD ⊥面ABCD 且FD=1， （1）证明：PA=PD; （2）证明：AD ⊥PB;（3）求AP 与面DEF 所成角的正弦值； （4）求二面角P AD B --的余弦值。

19. （本小题满分13分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。

首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。

再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过．．．的通道，直至走完迷宫为止。

令ξ表示走出迷宫所需的时间。

（1） 求ξ的分布列； （2） 求ξ的数学期望。

20．（本题满分14分）设集合Ｗ是满足下列两个条件的无穷数列{a n }的集合：①212n n n a a a +++≤，②n a M ≤.其中n N *∈，M 是与n 无关的常数.（1）设数列{n b }的通项为52n n b n =-，证明:{}n b W ∈；（2）若{n a }是等差数列，n S 是其前n 项的和，42a =，420S =，证明：{}n S W ∈并求M 的取值范围21.（本题满分14分） 已知函数f(x)=1x.（1）若1()(1)()ef a e f x dx •-=⎰，求a 的值；（2）1t >,是否存在[]1,a t ∈使得1()(1)()tf a t f x dx •-=⎰成立？并给予证明；（3）结合定积分的几何意义说明（2）的几何意义。

莆田一中2020-2021学年高三期末考理科数学答题卷祝你成功一、选择题（10*5=50分）12345678910二、填空题（4*5=20分）三解答题（共80分）请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效16．（本小题满分13分）11 ; 12. 13. ________ ; 14. 15．学校 班级 姓名 考号请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效18. （本小题满分13分）请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效19．（本小题满分13分）请在各题目的答题区域内作答、超出答题区域答案无效20．（本小题满分14分）莆田一中2020-2021学年高三上期末考数学(理科)答案一、选择题二、填空题:11．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12.3π或23π 13.223 14．2a ≤ 15.2212a b += 三、解答题：（13+13+13+13+14+14=80） 16．（本小题满分13分） 解：（1）1()sin 2cos 22f x a x x =-，()(0)3f f π-=……..2分 ∴31142a -+=-，23a ∴= ……….4分 ()3sin 2cos 22sin(2)6f x x x x π∴=-=- ………6分（2）当11,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，∴32,634x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦………7分 ∴当262x ππ-=即3x π=时()f x 取得最大值2； ………10分∴当3264x ππ-=即1124x π=时()f x 取得最小值2。

∴()f x 的最大值为2，()f x 的最小值为2。

………13分17．（本小题满分13分）解：（1）由已知：1122p p =∴=∴ ………2分 抛物线为22x y =即21122y x a =∴= ………5分（2）设22112211(,),(,),(,)22M x x N x x P x y1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 BBCDDBDBBC2'11,,2PM y x y x k x =∴=∴= 直线PM ：21111()2y x x x x -=-即21112y x x x =-令0y =得112x x =即11(,0)2A x同理PN:22212y x x x =-,21(,0)2B x ………9分由2112221212y x x x y x x x =-=-⎧⎨⎩得12122x x x x xy +==⎧⎨⎩21212121111()4422AB x x x x x =∴-=∴+-= 2(2)84x y ∴-=即21122y x =- ………12分 ∴P 的轨迹方程为21122y x =-是一条抛物线 ………13分18．（本小题满分13分） ∴ 解：ABCD 是菱形且060DAB ∠=，E 为BC 中点，AD DE ∴⊥且3DE =,又DF ⊥面ABCD,,,DA DE DF ∴两两垂直,以D 为原点建立如图直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),(1,3,0),(1,3,0)B C -,F(0,0,1);F 为PC 中点,(1,3,2)P ∴-（1）222222(12)(3)222,1(3)222PA PD ∴=-+-+==+-+= 即PA=PD(2)(2,0,0),(0,23,2)0DA BP DA BP ==-∴•=即AD BP ⊥ （3）设AP 与面DEF 所成的角为θ，DA ⊥面DEF,∴面DEF 的法向量(2,0,0)n =，又(1,3,2)AP =--,22sin cos ,4222AP n θ-∴=<>==⋅ ∴AP 与面DEF 所成角的正弦值为24； （4）DF ⊥面ABCD, ∴面ABCD 的法向量1(0,0,1)n =,设PAD 面的法向量2(,,)n x y z =，则{2200DA n AP n ⋅=⋅= ，{20320x x y z =--+= ， 032x z y ==⎧⎪⎨⎪⎩，取2y =则3z =2(0,2,3)n ∴=，12321cos ,717n n <>==⋅ 二面角P-AD-B 为钝角，∴二面角P-AD-B 的余弦值为217-19．（本小题满分13分）解：由已知：ξ可以取的值有1,3,4,6。

………2分∴1(1)3p ξ==，111(3)326p ξ==⋅=，111(4)326p ξ==⋅= 11111(6)32323p ξ==⋅+⋅= ………8分∴ξ的分布列为：ξ 1346p13161613………10分∴ξ的数学期望11117134636632E ξ=⋅+⋅+⋅+⋅=（小时）。

(13)分20．（本小题满分14分）证明：（1）212525(2)255(1)2224n n n n n b b n n n ++++-++-==+-⋅ 又11121155(1)22242n n n n n n n b b b n b +++++++=+-⋅>∴≤ ………3分 115(1)25252n n n n n b b n n ++-=+--+=-∴当2n ≤时1n n b b +>，当3n ≥时1n n b b +<，∴当3n =时，{}n b 取得最大值7∴7n b ≤，由已知{}n b W ∈………6分（2）由已知：设14411(1)2,2034,4620n a a n d a s a d a d =+-==∴+=+= 得18,2a d ∴==-，102n a n ∴=-，2(1)8(2)92n n n s n n n +=+⋅-=-+………8分 ∴22229(1)9(2)7722n n s s n n n n n n ++-+-+++==-++ 又221(1)9(1)78n s n n n n +=-+++=-++，212n n n s s s +++∴≤ ………10分 229819()24n s n n n =-+=--+又n N +∈，∴当n =4或5时{}n s 取得最大值20∴20n s ≤………13分∴{}n s W ∈且20M ≥∴M 的取值范围为20M ≥ ………14分21．（本小题满分14分） 解：（1）1()(1)()ef a e f x dx ⋅-=⎰1111(1)ln 11e ee dx x a e a x∴⋅-===∴=-⎰ ………3分 （2）1111()ln ln t t tf x dx dx x t x===⎰⎰设1(1)ln t t a ⋅-=1ln t a t-∴= ………5分 下面证明[]1,a t ∈：11ln 11ln ln t t ta t t----=-=设()1ln (1)g t t t t =-->则'11()10(1)t g t t tt-=-=>> ∴()g t 在()1,+∞上为增函数，当1t >时()(1)0g t g >=又1t >时ln 0t >，10a ∴->即1a > ………8分11ln ln ln t t t ta t t t t----=-= 设()1ln (1)h t t t t t =-->则'1()1(1ln )ln 0(1)h t t t t t t=-⋅+⋅=-<>∴()h t 在()1,+∞上为减函数，当1t >时()(1)0h t h <=又1t >时ln 0t >，0a t ∴-<即a t <[]1,a t ∴∈综上：当1t >时，存在[]1,a t ∈使得1()(1)()tf a t f x dx •-=⎰成立。